Enunciado

A Equação (7.1b) admite que a camada-limite sobre a placa é turbulenta do bordo de ataque para a frente. Imagine um esquema para determinar a espessura da camada-limite com mais precisão quando o escoamento for laminar até um ponto de Rex,crít e turbulento depois disso. Aplique seu esquema para calcular a espessura da camada-limite em x = 1,5 m em um escoamento a 40 m/s de ar a 20°C e 1 atm sobre uma placa plana. Compare seu resultado com a Equação (7.1b). Admita Rex,crít = 1,2 E6.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, a gente tem ar escoando a 40   m / s e 20 ° C e 1   a t m sobre uma placa plana de x = 1,5   m .

O enunciado então pede que a gente elabore um esquema pra calcular a espessura da camada-limite com uma precisão maior quando ela começa com laminar e muda pra turbulenta. Vamos ver esse esquema aí embaixo:

Como vocês podem ver, para a camada-limite laminar, uma distância x c r temos um número de Reynolds crítico de R e c r = 1,2 × 10 6 que resulta em uma espessura da camada limite de δ c r .

Além disso, neste mesmo ponto, para a cada limite turbulenta com distância L c r , também resultará em R e c r = 1,2 × 10 6 e δ c r .

Com essas grandezas, iremos calcular a distância efetiva x e f para a qual a camada-limite turbulenta resultará na espessura δ e f .

Pra isso, vamos utilizar as seguintes equações para ao espessura da camada-limite:

δ x =   5 R e x 1 / 2 ,   p a r a   e s c o a m e n t o   l a m i n a r   10 3 < R e x < 10 6 0,16 R e x 1 / 7 ,   p a r a   e s c o a m e n t o   t u r b u l e n t o   10 6 < R e x

Além disso, vamos lembrar que para o ar a 20 ° C e 1   a t m , temos   ρ =   1,2   k g / m ³ e μ = 1,8 × 10 - 5 P a ∙ s .

Agora vem comigo pra gente resolver essa questão juntos!

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos calcular o valor de x c r a partir do número de Reynolds. Sendo assim, teremos:

R e c r = ρ V x c r μ → 1,2 × 10 6 = 1,2 k g m 3 40   m / s x c r 1,8 × 10 - 5 P a ∙ s →   x c r = 0,45   m

Agora, com esse valor, podemos calcular facilmente δ c r a partir da equação da espessura da camada-limite para o escoamento laminar:

δ c r x c r =   5 R e c r 1 / 2 → δ c r 0,45   m =   5 1,2 × 10 6 1 / 2 → 2,05 × 10 - 3   m  

E pra finalizar esse passo, agora vamos calcular a distância L c r do bordo de ataque até o começo da camada-limite turbulenta:

δ c r L c r =   0,16 ρ V L c r μ 1 / 7

L c r L c r 1 / 7 = δ c r 0,16 ρ V μ 1 / 7

L c r 6 / 7 = δ c r 0,16 ρ V μ 1 / 7

L c r = δ c r 0,16 7 / 6 ρ V μ 1 / 6

L c r = 2,05 × 10 - 3   m 0,16 7 / 6 1,2 k g m 3 40 m s 1,8 × 10 - 5 P a ∙ s 1 / 6

L c r = 0,073   m

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância efetiva x e f . Considerando que o ponto onde a turbulência é medida é 1,5   m , a distância efetiva x e f para a qual a camada-limite turbulenta resultará na espessura δ e f :

x e f = 1,5   m + L c r - x c r = 1,5   m + 0,073   m - 0,45   m = 1,123   m

Agora podemos finalmente calcular o número de Reynolds efetivo R e e f :

R e e f = ρ V x e f   μ = 1,2 k g m 3 40 m s 1,123   m   1,8 × 10 - 5 P a ∙ s = 2,99 × 10 6

E pra finalizar esse passo, vamos finalmente calcular δ e f , usando a equação para a espessura da camada-limite turbulenta:

δ e f x e f =   0,16 R e e f 1 / 7

δ e f 1,123   m =   0,16 2,99 × 10 6 1 / 7

δ e f = 0,0213   m

Passo 4

Pra finalizar a questão, vamos calcular δ considerando x = 1,5   m e comparar esse valor com δ e f .

Pra isso, primeiro vamos calcular o número de Reynolds:

R e x = ρ V x μ =   1,2 k g m 3 40 m s 1,5   m 1,8 × 10 - 5 P a ∙ s = 4 × 10 6

Então, a espessura da camada limite será;

δ x =   0,16 R e x 1 / 7 →   δ 1,5   m =   0,16 4 × 10 6 1 / 7

δ =   0,0273

Se compararmos essa espessura calculada com a espessura efetiva, nós veremos que elas têm um erro relativo de 28,2%.

Ponto, matamos esse problema juntos!

Resposta

Comparando a espessura calculada sem nenhuma correção com a espessura efetiva δ e f , nós veremos que elas têm um erro relativo de 28,2%.

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