Enunciado

Ar a 20°C e 1 atm entra em um duto quadrado de 40 cm, como mostra a Figura P7.7. Aplicando o conceito de “espessura de deslocamento” da Figura 7.4, determine

(a) a velocidade média e (b) a pressão média no núcleo do escoamento na posição x =3 m. (c) Qual o gradiente de pressão médio, em Pa/m, nessa seção?

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos ar a 20   ° C e 1   a t m entrando em um duto quadrado de base 40   c m , com a velocidade da corrente livre (a que entra no sistema) de U = 2   m / s como demonstra a figura que ilustra o problema.

O enunciado nos pede então para aplicar o conceito de “espessura de deslocamento”, no qual num escoamento sobre uma placa linhas de corrente externas devem defletir para fora a uma distância δ * ( x ) a fim de satisfazer a conservação da massa entre a entrada e a saída.

Nos próximos passos, vamos utilizar esse conceito para calcular a velocidade média do escoamento na saída da placa, U n ú c l e o , a pressão média no núcleo do escoamento em x = 3   m e o gradiente de pressão nesta mesma seção.

Além disso, devemos lembrar que para ar a 20 ° C a massa específica é ρ = 1,2   k g / m ³ μ = 1,8 × 10 - 5   P a ∙ s .

Então vem comigo que a gente vai resolver esse problema!

Passo 2

Pra começar, vamos resolver a letra (a).

Em primeiro lugar, vamos calcular o número de Reynolds do escoamento na posição x = 3   m :

R e = ρ U x μ = 1,2 k g m 3 2 m s 3   m 1,8 × 10 - 5 P a ∙ s = 4,0 × 10 5

E isso caracteriza um escoamento laminar para uma placa plana, pois o número de Reynolds está na faixa 10 3 < R e x < 10 6 .

Agora podemos calcular o deslocamento da camada limite δ * a partir da Equação (7.13), fornecida na página 467:

δ * x =   1,83 R e x 1 / 2

δ * 3   m =   1,83 4,0 × 10 5 1 / 2

δ * = 0,0087   m  

Por fim, devemos calcular a velocidade na saída.

Se você prestar atenção na figura que ilustra o problema, vai ver que a área da seção transversal do escoamento é diferente na entrada e na saída do duto por conta do deslocamento da camada limite.

Veja esse esquema pra entender:

Como vocês podem ver na imagem, na saída o comprimento do lado da base quadrada deve levar em conta o deslocamento da camada-limite, e por isso ele será de 40   c m - 2 δ * .

Podemos então usar a equação da continuidade para calcular a velocidade na saída:

U × A e n t = U n ú c l e o × A s a i

U n ú c l e o = U × A e n t A s a i 2 = U × L ² L - 2 δ * 2  

U n ú c l e o = 2   m / s × 0,4   m ² 0,4   m - 0,0174   m 2

U n ú c l e o = 2,186   m / s

Passo 3

Agora vamos resolver a letra (b).

Pra calcular a pressão na saída do duto ou seja, onde x = 3 m , basta que a gente use a Equação de Bernoulli.

Vamos considerar a pressão na entrada como sendo 1   a t m e iremos calcular a pressão manométrica, ou seja, P 1 = 0 .

Dessa maneira:

P 2 + ρ U n ú c l e o 2 2 = P 1 + ρ U ² 2

P 2 + 1,2 k g m 3 2,186   m / s ² 2 = 1,2 k g m 3 2   m / s ² 2

P 2 =   - 0,47   P a

Passo 4

Pra finalizar a questão, vamo resolver a letra (c).

Pra calcular o gradiente de pressão, basta que a gente divida a variação de pressão total (manométrica) pelo comprimento do duto, ou seja,   3   m .

Dessa maneira:

∆ P x = - 0,47   P a 3   m = - 0,16   P a / m  

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) A velocidade média no fim da placa é U n ú c l e o = 2,186   m / s

(b) A pressão média no núcleo do escoamento no fim da placa é P 2 =   - 0,47   P a

(c) O gradiente de pressão médio no duto é ∆ P x = - 0,16   P a / m  

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