Enunciado

Um equipamento para recuperação de calor envolve a transferência de energia dos gases quentes de exaustão, que passam através de uma região anular, para água pressurizada que escoa através do tubo interno. Esse tubo interno tem diâmetros interno e externo de 24 e 30 mm, e está conectado a um tubo externo por oito barras de suporte. O tubo externo encontra-se isolado termicamente da vizinhança e tem 60 mm de diâmetro. Cada barra de suporte tem 3 mm de espessura e é fabricada formando um conjunto integrado com o tubo interno em aço-carbono (k = 50 W/(m · K)).

Considere condições nas quais a água a 300 K escoa através do tubo interno a uma vazão de 0,161 kg/s, enquanto os gases de exaustão a 800 K escoam através da região anular, mantendo um coeficiente convectivo de 100 W/(m² · K) sobre as superfícies das barras de suporte e a superfície externa do tubo interno. Qual é a taxa de transferência de calor do gás para a água, por unidade de comprimento do tubo?

Passo 1

Antes de começar, vamos dar um pulo lá no apêndice A na tabela A.6 para pegar as propriedades da água que escoa através do tubo interno a 300 K, então, para essa temperatura, temos:

μ = 855.10 - 6   N . s / m 2

k = 0,613   W / m . K

P r = 5,83

Tá legal! Queremos encontrar a taxa de transferência e calor do gás para a água por unidade de comprimento do tubo, então, utilizando o coeficiente global de transferência de calor da parte fria, podemos escrever a taxa de transferência de calor através da equação de resfriamento de Newton da seguinte forma:

q = U f A f T m , q - T m , f

Então, já tendo as temperaturas do lado quente e frio, precisamos encontrar o valor da expressão U f A f . Dessa forma, através da equação 11.1b, temos a seguinte relação:

1 U f A f = 1 η o h A f + R p + 1 η o h A q

Então, sendo R p a resistência da parede, dada pela equação 3.33 vista lá no capítulo 3, que nesse caso é a resistência de condução, e como não temos aleta do lado frio, de escoamento de água, então teremos η 0 , f = 1 . Então, com isso, a equação acima se torna:

1 U f A f = 1 h f A f + ln ⁡ r 2 r 1 2 π L k + 1 η 0 , q h q A q

Passo 2

Então, precisamos calcular as expressões para a o coeficiente convectivo da parte fria, a área quente e a eficiência da superfície quente η 0 , q . Teremos a eficiência dada pela equação 11.3:

η o , q = 1 - A a A 1 - η a

Em que A a representa a área das aletas e η a a sua eficiência. Vamos começar calculando a área das aletas. Sabendo que temos aletas retangulares, e considerando o comprimento de 1 m, pois estamos interessados no calor por unidade de comprimento, teremos:

A a = N 2 L . w = 8 ( 2 ) ( 1 ) ( 0,015 ) → A a = 0,24   m 2

Agora, a área externa, ou área quente A q , para 1 m de comprimento, será então dada pela área das aletas mais a superfície externa original total subtraída das espessuras das aletas, ou seja:

A q = A a + π D i , 2 L - 8 t L = 0,24 + π 0,03 ( 1 ) - 8 0,003 ( 1 ) → A q = 0,31   m 2

Agora vamos calcular a eficiência das aletas. Então supondo extremidade adiabática, podemos utilizar a equação 11.4 para a eficiência, onde temos:

η a = tanh ⁡ m L m L

Em que m será dado por:

m = 2 h k t

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para m , temos:

m = 2 1 00 50 0,003 → m = 36,51   m - 1

E, sabendo que o comprimento das aletas (altura) é dada pela diferença entre os raios do tubo maior isolado e do raio externo do tubo menor, teremos:

L = r e - r i , 2 = 0,03 - 0,015 → L = 0,015   m

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para a eficiência das aletas, temos:

η a = tanh ⁡ 36,51 0,015 36,51 0,015 → η a = 0 , 9107

Agora, substituindo esse valor para a eficiência da superfície quente, teremos:

η o , q = 1 - A a A 1 - η a = 1 - 0,24 0,31 1 - 0,9107

η o , q = 0,9309

Passo 3

Agora precisamos calcular o coeficiente convectivo da parte fria. Para isso, tendo escoamento interno, podemos calcular o coeficiente convectivo através da equação de Dittus-Boelter. Para isso, precisamos do número de Reynolds, que é dado por:

R e D = ρ u m D μ

No entanto, temos a informação da vazão mássica, que por sua vez é dada por:

m ˙ = ρ u m A = ρ u m π D 2 4

Isolando a densidade dessa expressão, teremos:

ρ = 4 m ˙ u m π D 2

E, substituindo essa expressão na equação para Reynolds, chegamos em:

R e D = 4 m ˙ u m D μ u m π D 2 → R e D = 4 m ˙ μ π D

E, substituindo os valores conhecidos, chegaremos em:

R e D = 4 0,161 855 . 10 - 6 π 0,024 → R e D = 9989,8

Então, como temos Reynolds maior que 2300, o escoamento é turbulento e devemos utilizar a seguinte correlação de Dittus-Boelter:

N u D = h D k = 0,023 R e D 4 5 P r 0,4

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

h f 0,024 0,613 = 0,023 9989,8 4 5 5,83 0,4 → h f = 1883 , 2   W / m 2 . K

Passo 4

Agora, retornando à equação escrita lá no passo 1 para U f A f e substituindo os valores conhecidos, teremos:

1 U f A f = 1 h f A f + ln ⁡ r 2 r 1 2 π L k + 1 η 0 , q h q A q = 1 h f π D i , 2 L + ln ⁡ r i , 2 r i , 1 2 π L k + 1 η 0 , q h q A q

1 U f A f = 1 1883,2 π 0,024 1 + ln ⁡ 0,03 0,024 2 π 1 50 + 1 0,9309 100 0,31 = 0,0424

U f A f = 23 , 58   W / K

Então, finalmente, substituindo essa expressão na equação para a taxa de transferência de calor lá do passo 1, temos:

q = U f A f T m , q - T m , f = 23,58 ( 800 - 300 )

q = 11790,9   W

Resposta

q = 11790,9   W

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