Enunciado

Um projeto inovador para um condensador consiste em um tubo com condutividade térmica de 200 W/(m · K) com aletas longitudinais firmemente encaixadas no interior de um tubo maior. Um refrigerante, em condensação a 45 °C, escoa axialmente através do tubo interno, enquanto água, a uma vazão de 0,012 kg/s, escoa pelos seis canais formados ao redor do tubo interno. Os diâmetros pertinentes são D 1 = 10 mm, D 2 = 14 mm e D 3 = 50 mm, enquanto a espessura das aletas é t = 2 mm. Considere que o coeficiente de transferência de calor associado ao refrigerante em condensação seja extremamente elevado.

Determine a taxa de remoção de calor por unidade de comprimento do tubo em uma seção do tubo na qual a água está a 15 °C.

Passo 1

Antes de começar, vamos dar um pulo lá no apêndice A na tabela A.6 para pegar as propriedades da água que escoa através dos canais ao redor do tubo interno a 15 °C = 288 K, então, para essa temperatura, temos:

μ = 1138 . 10 - 6   N . s / m 2

k = 0 , 595   W / m . K

P r = 8,06

ρ = 1000   k g / m 3

Tá legal! Queremos encontrar a taxa de transferência e calor do gás para a água por unidade de comprimento do tubo, então, utilizando o coeficiente global de transferência de calor da parte fria, podemos escrever a taxa de transferência de calor através da equação de resfriamento de Newton da seguinte forma:

q = U f A f T m , q - T m , f

E, por unidade de comprimento, teremos:

q ' = U f A f ' T m , q - T m , f

Então, já tendo as temperaturas do lado quente e frio, precisamos encontrar o valor da expressão U f A f ' . Dessa forma, através da equação 11.1b, temos a seguinte relação:

1 U f A f = 1 η o h A f + R p + 1 η o h A q

Então, sendo R p a resistência da parede, dada pela equação 3.33 vista lá no capítulo 3, que nesse caso é a resistência de condução e como o enunciado nos disse que o coeficiente de transferência de calor associado ao refrigerante é muito alto, isso quer dizer que podemos desprezar o terceiro termo da equação acima. Então, com isso, a equação acima se torna:

1 U f A f = 1 η o , f h f A f + ln ⁡ r 2 r 1 2 π L k

Então, como estamos interessados na relação por unidade de comprimento, podemos dividir os dois lados por L , dessa forma, teremos:

1 U f A f ' = 1 η o , f h f A f ' + ln ⁡ r 2 r 1 2 π k

Passo 2

Então, precisamos calcular as expressões para a área fria, o coeficiente convectivo da parte fria e a eficiência da superfície fria η o , f . Começando então pelo coeficiente convectivo da parte fria, precisamos primeiro calcular o diâmetro hidráulico da seção que é dado por:

D h , f = 4 A t P

Em que A t é a área transversal da passagem e P é o perímetro. Então, a área transversal será dada pela área total menos a área das 6 aletas dividido pelo número total de seções, então teremos:

A t = π D 3 2 - D 2 2 4 - 6 D 3 - D 2 t 2 6

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

A t = π 0,05 2 - 0,014 2 4 - 6 0,05 - 0,014 0,002 2 6 → A t = 2,656.10 - 4   m 2

Agora, para o perímetro de uma seção, teremos:

P = π D 3 - 6 t 6 + π D 2 - 6 t 6 + 2 D 3 - D 2 2

Substituindo os valores conhecidos, teremos:

P = π 0,05 - 6 0,002 6 + π 0,014 - 6 0,002 6 + 2 0,05 - 0,014 2 → P = 0,0655   m

Então o diâmetro hidráulico da parte fria será:

D h , f = 4 A t P = 4 2,656.10 - 4 0,0655 → D h , f = 0,01622   m

Passo 3

Com o valor do diâmetro hidráulico podemos calcular o número de Reynolds, dado por:

R e D = ρ u m D μ

No entanto, temos a informação da vazão mássica, que por sua vez é dada por:

m ˙ = ρ u m A = ρ u m π D 2 4

Isolando a densidade dessa expressão, teremos:

ρ = 4 m ˙ u m π D 2

E, substituindo essa expressão na equação para Reynolds, chegamos em:

R e D = 4 m ˙ u m D μ u m π D 2 → R e D = 4 m ˙ μ π D

E, substituindo os valores conhecidos, lembrando que estamos calculando o valor por seção, chegaremos em:

R e D = 4 0,012 6 1138 . 10 - 6 π 0,01622 → R e D = 137,9

Então como temos Reynolds menor que 2300, o escoamento será laminar. Então, assumindo que o escoamento é totalmente desenvolvido, teremos um Nusselt de:

N u D = 3,66

Sabendo que o Nusselt se relaciona com o coeficiente convectivo através da seguinte equação:

h = N u D k D

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

h f = 3,66 0,595 0,01622 → h f = 134 , 3   W / m 2 . K

Passo 4

Agora, a eficiência da superfície fria será dada pela equação 11.3, onde temos:

η o , f = 1 - A a A 1 - η a

Em que A a representa a área das aletas, A a área superficial total e η a a sua eficiência. Vamos começar calculando a área das aletas. Sabendo que temos aletas retangulares, e calculando por unidade de comprimento, teremos:

A a ' = N D 3 - D 2 = 6 0,05 - 0,014 → A a ' = 0 , 216   m

Agora, a área externa, ou área fria A f , por unidade de comprimento, será então dada pela área das aletas mais a superfície externa original total subtraída das espessuras das aletas, ou seja:

A f ' = A a ' + π D 2 - 6 t = 0,216 + π 0,014 - 6 0,002 → A f ' = 0 , 248   m

Agora vamos calcular a eficiência das aletas. Então supondo extremidade adiabática, podemos utilizar a equação 11.4 para a eficiência, onde temos:

η a = tanh ⁡ m L m L

Em que m será dado por:

m = 2 h k t

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para m , temos:

m = 2 134,3 200 0,002 → m = 25,91   m - 1

E, sabendo que o comprimento das aletas (altura) é dada pela diferença entre os raios do tubo maior isolado e do raio externo do tubo menor, teremos:

L = r 3 - r 2 = 0,025 - 0,007 → L = 0,018   m

Então, substituindo os valores conhecidos na equação para a eficiência das aletas, temos:

η a = tanh ⁡ 25,9 1 0,018 25,9 1 0,018 → η a = 0 , 9334

Agora, substituindo esse valor para a eficiência da superfície fria, teremos:

η o , f = 1 - A a ' A ' 1 - η a = 1 - 0 , 216 0 , 248 1 - 0,9334

η o , f = 0 , 942 0

Passo 5

Agora, retornando à equação escrita lá no passo 1 para U f A f ' e substituindo os valores conhecidos, teremos:

1 U f A f ' = 1 η o , f h f A f ' + ln ⁡ r 2 r 1 2 π k

1 U f A f ' = 1 0,9420 134,3 ( 0,248 ) + ln ⁡ 0,014 0,01 2 π 200 = 0,03214

U f A f ' = 31,11

Então, finalmente, substituindo essa expressão na equação para a taxa de transferência de calor lá do passo 1, temos:

q ' = U f A f ' T m , q - T m , f = 31,11 ( 45 - 15 )

q ' = 933,4   W / m

Resposta

q ' = 933,4   W / m

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