Enunciado

No escoamento laminar de um fluido em condutos circulares, o diagrama de velocidades é representado pela equação v = v m a x 1 - r R 2 , onde v m a x é a velocidade no eixo do conduto, R é o raio do conduto e r é um raio genérico para o qual a velocidade v é genérica. Verificar que v m / v m á x = 0,5 , onde v m = velocidade média na seção.

Passo 1

Bora lá! O problema da pra a gente a equação da velocidade prontinha e com ela a gente pode achar a velocidade em qualquer posição radial do tubo!

Como assim?

A velocidade é constante ao longo do tubo mas a medida que a gente vai chegando perto das paredes do tubo ela vai diminuindo e quando a gente vai até o seu centro, lá a gente encontra a velocidade máxima!!

E o que a gente quer aqui?! A gente quer achar uma expressão que relacione a velocidade média, v m com v m á x e provar que a razão das duas é igual a 0,5 !

Passo 2

Temos a seguinte equação que relaciona a velocidade média com uma possível velocidade máxima:

v m A = ∫ v ⋅ d A

Segundo o problema, v é igual a:

v = v m a x 1 - r R 2

Substituindo:

v m π R 2 = ∫ v m a x 1 - r R 2 d A

Arrumando:

v m π R 2 = ∫ v m a x R 2 - r 2 R 2 d A

Mas d A é uma função do raio, certo?!

A = π r 2

d A d r = 2 π r

Isolando o d A :

d A = 2 π r d r

Huuuum, podemos substituir o d A na equação, porque ai tudo vai ficar em função de r e podemos integrar!

v m π R 4 = ∫ v m a x R 2 - r 2 2 π r d r

Passo 3

Antes de resolver a integral, vamos dar uma arrumadinha:

v m R 4 = 2 v m a x R 2 ∫ 0 R r d r - ∫ 0 R r 3 d r

Agora só ficou na integral quem interessa, podemos calcular:

v m R 4 = 2 v m a x R 4 2 - R 4 4

v m R 4 = 2 v m a x R 4 4

Cortando mais algumas coisinhas:

v m = v m a x 2

Que também pode ser escrito como:

v m v m á x = 0,5

Aweeee!

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