Enunciado

Para o escoamento laminar plenamente desenvolvido através de um canal entre placas paralelas, o componente na direção x da equação do momento tem a forma:

μ d 2 u d y 2 = d p d x = c o n s t a n t e    

O objetivo deste problema é desenvolver expressões para a distribuição de velocidades e o gradiente de pressão análogas àquelas para o tubo circular na Seção 8.1.

  1. Mostre que o perfil de velocidades, u ( y ) , é parabólico e tem a forma:
  2. u y = 3 2 u m 1 - y 2 a 2 2

    na qual u m é a velocidade média:

    u m = - a 2 12 μ d p d x

    E – d p d x   = Δ p L , com Δp sendo a queda de pressão ao longo do canal com comprimento L.

  3. Escreva uma expressão definindo o fator de atrito, f, usando como comprimento característico o diâmetro hidráulico D h . Qual é o diâmetro hidráulico para o canal de placas paralelas?
  4. O fator de atrito é estimado com a expressão f   = C R e D , com C sendo uma função da seção transversal do escoamento, como mostrado na Tabela 8.1. Qual é o coeficiente C para o escoamento entre placas?
  5. Ar escoa em um canal entre placas paralelas com uma separação entre placas de 5 mm e um comprimento de 200 mm, apresentando uma queda de pressão de Δ p   =   3,75 N m 2 . Calcule a velocidade média e o número de Reynolds para o ar na pressão atmosférica e a 300 K. A hipótese de escoamento plenamente desenvolvido é razoável nessa aplicação? Se não, qual é o efeito na estimativa de u m ?

Passo 1

Vaaaamo que vaaaamoo, galerinhaa ?!

Estamos aqui a todo vapor!!

Para a letra (a) nós vamos precisar da equação dada:

μ d 2 u d y 2 = d p d x

Onde μ é a viscosidade, d p d x é o gradiente de pressão longitudinal e d 2 u d y 2 a derivada de segunda ordem da velocidade em relação ao y.

Se nós queremos achar a velocidade só nos resta integrar, não é verdade?

d 2 u d y 2 = 1 μ d p d x

∫ d d y d u d y = 1 μ ∫ d p d x

Vamos fazer a primeira derivada:

∫ d u = 1 μ ∫ d p d x . d y

u = 1 μ d p d x y + C 1

Colocando na segunda derivada:

d u d y = 1 μ d p d x y + C 1

∫ d u d y = 1 μ d p d x y + C 1

∫ d u = 1 μ d p d x ∫ y d y + ∫ C 1 d y

u = 1 μ d p d x . y 2 2 + C 1 y + C 2

Agora nós precisamos usar as condições de contorno para nos ajudar a achar as constantes.

A primeira condição é dada por:

d u d y | y = 0 = 0

Substituindo na equação:

d u d y = 1 μ d p d x 0 + C 1 = 0

C 1 = 0

A segunda condição de contorno que nós conhecemos é:

u a 2 = 0

Quando nós substituímos:

u a 2 = 1 μ d p d x . a 2 2 2 + C 2 = 0

C 2 = - a 2 2 2 μ d p d x . a 2 4

Colocando as constantes na fórmula que descobrimos da velocidade:

u ( y ) = y 2 2 μ d p d x - a 2 2 2 μ d p d x

O próximo passo aqui é tentar deixar ela mais parecida com a que temos em (a), e vamos começar colocando alguns valores em evidência:

u y = - a 2 2 2 μ d p d x 1 - y 2 a 2 2

Até aqui tudo bem, mas agora o que temos que fazer é achar a velocidade média para esta equação.

Como? Siimples !!

Basta nós usarmos a fórmula:

u m = 1 L ∫ 0 L u y . d y

Se L = a 2 :

u m = 2 a ∫ 0 a 2 - a 2 2 2 μ d p d x 1 - y 2 a 2 2 . d y

u m = - a 2 2 a μ d p d x ∫ 0 a 2 1 - y 2 a 2 2 . d y

u m = - a 2 2 a μ d p d x y - y 3 3 a 2 2 a / 2 0 = - a 2 2 a μ d p d x a 2 - a 2 3 3 a 2 2

u m = - a 4 μ d p d x a 3 = - a 2 12 μ d p d x

Quando nós inserimos esta equação na equação da velocidade ela fica assim:

u y = 3 2 u m 1 - y 2 a 2 2

Igualzinho o que o problema nos disse, certo?

Passo 2

Na letra (b) nós precisamos escrever uma expressão definindo o fator de atrito, f, usando como comprimento característico o diâmetro hidráulico D h .

Para isso nós vamos lembrar que o fator de atrito pode ser expresso como:

f = - d p d x D h ρ u m 2 2

Onde - d p d x é a queda de pressão através do canal de comprimento L e ρ a densidade.

Mas a letra (b) não pediu só isso, certo? Também nos perguntou qual é o diâmetro hidráulico para o canal de placas paralelas.

O diâmetro hidráulico pode ser dado por:

D h = 4 A c P

Onde a área da seção transversal e o perímetro são dados em função das distâncias da placa, a , e a largura do canal b :

A c = a × b

P = 2 a + b

Então:

D h = 4 a × b 2 a + b

Já que a ≪ b :

D h = 4 a × a 2 a = 2 a

Passo 3

A letra (c) nos diz que o fator de atrito é estimado como a expressão f   = C R e D , e precisamos calcular o coeficiente C!!

Novamente nós vamos lembrar que:

f = - d p d x D h ρ u m 2 2

Também já vimos que:

- d p d x = 12 μ u m a 2

D h = 2 a

Substituindo:

f = 12 μ u m a 2 4 a ρ u m 2 = 48   μ ρ 1 a 1 u m

Lembrando que:

μ ρ = v

E manipulando um pouco a equação:

1 a = 2 2 a = 2 D h

Então:

f = 12 μ u m a 2 4 a ρ u m 2 = 96   v u m D h

E olha que massaaa !

R e D = u m D h v

Portanto:

f = 96 R e D

E consequentemente:

C = 96

Passo 4

Na letra (d) nós queremos calcular a velocidade média e o número de Reynolds para o ar.

O problema nos disse que:

a = 5   m m = 0,005   m

L = 200   m m = 0,2   m

Δ p   =   3,75 N m 2

T   =   300   K

Para esta temperatura a Tabela A.4 nos diz que, para o ar:

μ = 184,6 × 10 - 7 N . s m 2

v = 15,89 × 10 - 6 m 2 s

Já sabemos que a velocidade média é dada por:

u m = - a 2 12 μ . d p d x = a 2 12 μ . Δ p L

Substituindo os valores que nós temos:

u m = 0,005   m 2 12 184,6 × 10 - 7 N . s m 2 . 3,75 N m 2 0,2   m  

u m = 2,12 m s

O número de Reynolds também está fácil:

R e D = u m D h v = 2 a u m v

Substituindo:

R e D = 2 0,005   m 2,12 m s 15,89 × 10 - 6 m 2 s

R e D = 1332

Como o número de Reynolds é menor que 2300 o fluxo é laminar, mas não completamente desenvolvido.

Nestes casos o fator de atrito na região de entrada é maior do que para as condições de escoamento completamente desenvolvido, ok?

Se é assim, a velocidade média é menor do que nós estimamos para a mesma queda de pressão!!

Resposta

  1. C o m o   v i s t o   a c i m a ;  
  2. f = - d p d x D h ρ u m 2 2     |     D h = 2 a ;
  3. C = 96 ;
  4. u m = 2,12 m s     |     R e D = 1332 .
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