Enunciado

Para um escoamento no plano x y , a componente x da velocidade é dada por u = 3 x 2 y - y 3 . Encontre uma possível componente y para escoamento em regime permanente e incompressível. Ela também é válida para escoamento incompressível em regime não permanente? Por quê? Quantas são as possíveis componentes y ?

Passo 1

Para representarem possíveis casos de escoamento bidimensional incompressíveis devem atender a seguinte versão equação da continuidade:

∂ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Passo 2

Temos que u = 3 x 2 y - y 3 , então:

∂ ∂ x ( 3 x 2 y - y 3 ) + ∂ v ∂ y = 0

∂ v ∂ y = - ∂ ∂ x ( 3 x 2 y - y 3 )

Derivando:

∂ v ∂ y = - 6 x y

Passo 3

Integrando:

d v = - 6 x y   d y

∫ d v = - 6 x ∫ y d y

v x , y = - 3 x y 2 + f ( x )

Essa equação básica é válida para fluxo constante e instável.

Existem infinitas soluções, pois f ( x ) pode ser qualquer função de x .

Sendo a mais simples f x = 0 :

v x , y = - 3 x y 2

Resposta

v x , y = - 3 x y 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

5.19 Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento incompressível?(a) V r = - K / r ; V θ = 0 (b) V r = 0 ; V θ = K / r (c) V r = - K cos ⁡ θ / r 2 ; V θ = - Ks e
5.20 Para um escoamento incompressível no plano r θ , a componente r da velocidade é dada por V r = U cos ⁡ θ .(a) Determine uma possível componente θ da velocidade.(b) Quantas possíveis componentes θ
5.18 Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento incompressível?(a) V r = U cos ⁡ θ ; V θ = - Us e nθ (b) V r = - q / 2 π r ; V θ = K / 2 π r (c) V r = U cos ⁡
5.16 Considere um jato d’água saindo de um irrigador oscilatório de gramados. Descreva as trajetórias e as linhas de emissão correspondentes.
5.22 Um líquido viscoso é submetido a cisalhamento entre dois discos paralelos de raio R , um dos quais gira enquanto o outro permanece fixo. O campo de velocidade é puramente tangencial, e a velocida