Enunciado

Um escoamento uniforme de ar-padrão a 60   m / s entra em um difusor de parede plana com espessura de camada limite desprezível. A largura da entrada é 75   m m . As paredes do difusor divergem ligeiramente para acomodar o crescimento da camada limite, de modo que o gradiente de pressão é desprezível. Considere comportamento da camada limite de placa plana. Explique por que a equação de Bernoulli é aplicável a este escoamento. Estime a largura do difusor 1,2   m a jusante da entrada.

Passo 1

Vamos listar o que a gente precisa fazer:

- Explicar por que podemos usar a equação de Bernoulli

- Estimar a largura do difusor em x = 1,2   m

E enunciado dá umas informações para gente, considerando a entrada do difusor como seção (1) e seção (2), a seção em x = 1,2   m :

- velocidade de corrente livre: U 1 = 6 0   m / s

- ar-padrão: ρ = 1,21 k g / m 3 e μ = 1,81 ⋅ 10 - 5 N ⋅ s / m

- largura em (1): b = 75   m m = 0,075   m

Vamo começar!

Passo 2

Podemos aplicar a equação nesse problema porque assumimos um fluído em escoamento permanente, incompressível, que apenas sofre atrito dentro das camadas limite. Sendo assim, podemos aplicar a equação na região fora das camadas.

Passo 3

Essa é a carinha da equação de Bernoulli:

p 1 ρ + V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + V 2 2 2 + g z 2

Mas repara que a pressão é constante ao longo do difusor, então:

p 1 = p 2

E não temos variação de altura, logo reduzimos a equação a:

V 1 = V 2

Passo 4

Agora podemos usar a conservação de massa que diz que para nosso fluído incompressível:

A 1 V 1 = A 2 V 2 ∴ A 1 = A 2

Mas repara que a seção (2), só consideramos que o escoamento é uniforme fora das camadas limites, então nossa área onde acontece esse escoamento pode ser definida assim, considerando camadas limites somente nas laterais do difusor:

A 2 = h ( b 2 - 2 δ * )

b 1 h = h b 2 - 2 δ *

b 2 = b 1 + 2 δ *

Passo 5

Podemos achar δ   por essa equação (considerando perfil de velocidade de potência 1 / 7 ):

δ x = 0,382 R e x 1 5

R e x = ρ U x μ

Substituindo os dados do enunciado, e colocando x = 1,2   m :

δ = 0 , 0 21 3   m

Passo 6

Mas a gente quer δ * . Fica atento a isso, porque é ele que a gente usa nesse contexto de vazão e conservação de massa.

Aí usando o perfil de velocidade 1 / 7 nessa definição:

δ * = ∫ 0 δ 1 - u U d y

u U = y δ 1 7

Vemos que:

δ * = δ 8 = 0,0 02662   m

Passo 7

Vamos só substituir os valores que a gente tem:

b 2 = b 1 + 2 δ

b 1 = 0,075   m

b 2 = 0 , 0803   m = 80,3   m m

Resposta

b 2 = 80,3   m m

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