Enunciado

Uma esfera de 15 cm de diâmetro é colocada numa corrente de ar de ρ = 1,2 k g m 3 . O dinamômetro indica uma força de 1,14   N . Qual é a velocidade do ar? ( ν a r = 10 - 5 m 2 s )

Passo 1

A questão nos dá:

  • O diâmetro da esfera: d = 15   c m
  • A força de arrasto sobre a esfera: F a = 1,14   N
  • A densidade do ar: ρ = 1,2 k g m 3
  • A viscosidade do ar: ν a r = 10 - 5 m 2 s

A questão nos pede a velocidade v 0 do ar.

Passo 2

Pela descrição feita pela questão, a esfera está sofrendo arrasto gerado pela corrente de ar. Pela equação do arrasto temos:

F a = C a ⋅ ρ ⋅ v 0 2 2 A

Note que temos três valores desconhecidos: a velocidade v 0 que queremos descobrir, a área de referência da esfera A , e o coeficiente de arrasto C a .

Passo 3

A área de referência da esfera é igual a área de sombra da esfera, ou seja, a área de uma circunferência de mesmo raio:

A = π D 2 4

Passo 4

Bem, neste momento temos que estimar um valor para C a . É razoável imaginar que estamos trabalhando com baixas velocidades, então podemos estimar que o valor do número de Reynolds é em torno de: 10 3 < R e < 3,5 ⋅ 10 5 . Nessa situação, de acordo com a seção 9.5 do livro, o valor do coeficiente de arrasto é:

C a = 0,45

Passo 5

Pronto! Agora vamos aplicar os valore na equação do arrasto:

F a = C a ⋅ ρ ⋅ v 0 2 2 A

Aplicando a área de referência:

F a = C a ⋅ ρ ⋅ v 0 2 2 ⋅ π D 2 4

Aplicando os demais valores:

1,14   N = 0,45 ⋅ 1,2 k g m 3 ⋅ v 0 2 2 ⋅ π ⋅ 0,15   m 2 4

1,14   N = 0,00151875 π ⋅ v 0 2 ⋅ k g m

A solução é:

v 0 = 15,46 m s

Passo 6

Para finalizar, precisamos garantir que nossa hipótese sobre o valor do Número de Reynolds está correta. Então vamos usar a fórmula do número do Reynolds e aplicar o valor que encontramos para a velocidade.

R e = v D ν

R e = 15,46 m s 0,15 m 10 - 5 m 2 s

R e = 2,319 ⋅ 10 5

Este número está dentro da nossa hipótese. Logo a nossa resposta está correta!

Resposta

v 0 = 15,46 m s

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