Enunciado

Uma esfera sólida de diâmetro igual a D = 100 m m , inicialmente a uma temperatura uniforme de T i = 50 ° C , é colocada em fluido escoando a uma temperatura de T ∞ = 20 ° C . As propriedades da esfera são k = 2 W / ( m . K ) , ρ = 2500 k g / m 3 , C p = 750   J / ( k g . K ) . O coeficiente de transferência convectiva é h = 30 W / ( m 2 . K ) . Aós quanto tempo a superfície da esfera atingirá a temperatura de 26 ° C ? Quanta energia foi transferida pela esfera após esse tempo?

Passo 1

Eaaeeee coleeguinhaa... Bora de maaaaiss transferência de calor pra esquentar o coraçãozinho do jovem universitário moderno.

Bom, esse exercício particularmente é bem tranquilinho, sem armadilhas nem ratoeiras.

Precisamos do tempo, e temos tudo o que precisamos no enunciado.

Vamos começar com o básico e clichê... isso mesmo, o tal do Biot:

B i = h r 0 k = 30 0,05 2 = 0,75

Vamos lá na tabela 5.1 para achar os seguintes indivíduos:

ζ 1 = 1,3922

E

C 1 = 1,2107

Bom, e qual equação mesmo que nos dá relação com o tempo?? Isso mesmo o tio Fourier:

F o = α t r 0 2

Puts, mas a gente tem duas icógnitas aí.. precisamos achar o Fourier para só depois então encontrar o tempo.

Bom, vamos atrás dessa outra relação, que nos dá uma relação aproximada entre temperaturas e Fourier:

θ * = T i - T ∞ T s - T ∞ = C 1 exp ⁡ - ζ 1 2 F o ζ 1 r * sin ⁡ ζ 1 r *

Bom, essa é uma expressão aproximada, e ela só serve quando F o > 0,2 . Vamos assumir que seja isso, e depois conferimos.

Como estamos querendo a temperatura na superfície, r * = r 0 R = 1 . Lembre-se 0 ≤   r * ≤ 1 , sendo r * = 0 o centro da esfera.

Passo 2

Show de bola, podemos isolar o F o alí:

26 - 20 50 - 20 = ( 1,2107 ) exp ⁡ - 1,3922 2 F o 1,3922 sin ⁡ 1,3922

Chegaremos em:

F o = 0,75 > 0,2

Como tínhamos desconfiado no ínicio.

Dica: ζ 1 é sempre dado em radianos pela tabelinha. Então, ali dentro do seno, lembre-se de alterar sua calculadora para radianos. 😊

Finalmente:

F o = α t r 0 2

Lembrando que: α = k ρ c p = 2 2500 ( 750 ) = 1,067 × 10 - 6 m 2 / s

Logo,

t = 1757,81 s e g

Tá comigo?? Tá vivo?? Ainda falta um negocinho...

Passo 3

O exercício pede também a energia transferida depois do tempo encontrado.

Bom, a quantidade de energia removida da esfera, pode ser dada pela seguinte expressão:

Q Q 0 = 1 - 3 θ 0 * ζ 1 3 sin ⁡ ζ 1 - ζ 1 cos ⁡ ζ 1

Onde:

θ 0 * = C 1 exp ⁡ - ζ 1 2 F o = 1,2107 exp ⁡ - 1,3922 2 × 0,75

Ou seja:

θ 0 * = 0,2829

Portanto,

Q Q 0 = 1 - 3 0,2829 1,3922 3 sin ⁡ 1,3922 - 1,3922 cos ⁡ 1,3922

Mais uma vez, lembre-se de passar a calculadora para radianos!

Q Q 0 = 0,768 = 76,8 %

Bem tranquilo né? Chatinho, mas sem segredos, só aplicação de fórmulas!! Só riscar e partir pra próxima!! Te vejo lá!

Resposta

Portanto, a superfície da esfera atingirá 26 ° C após 1757,81 s e g . E a porcentagem de energia que sai da esfera é igual a 76,8 % .

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