Enunciado

Um longo bastão de plástico com 20 m m de diâmetro ( k = 0,3 W m . K ) e ρ c p = 1040 K j m 3 . K é aquecido uniformemente em uma estufa como preparação para uma operação de prensagem. Para obtenção de melhores resultados, a temperatura no bastão não deve inferior ser a 200 ° C . Até qual temperatura uniforme o bastão deve ser aquecido na estufa se, para o pior dos casos, o bastão repousa sobre uma esteira transportadora por 3 m i n antes da prensagem, permanecendo exposto a um resfriamento por convecção ao ar a 25 ° C , com um coeficiente convectivo de 10 W m 2 . K ? Uma outra condição para a obtenção de bons resultados é a diferença entre as temperaturas máxima e mínima no bastão, que não deve exceder 10 ° C . Essa condição é satisfeita e, se não, o que você poderia fazer para satisfazê-la??

Passo 1

Faalaaaeee clóoviss... da aquela espreguiçada monstra e ajeita essa postura, bora riscar mais uma questãozinha de transferência de calor.

Dessa vez, temos um cilindro, exposto a uma corrente externa de ar. Beleza!

Vamos começar então, achando o nosso tio Biot, para podermos ir atrás de coletar os nossos dados:

B i = h R k = 10 0,01 0,3 = 0,333

Show de bola! Hora de dar aquela folheada marota lá na tabela 5.1, e aí vamos nos deparar com esses carinhas:

ζ 1 = 0,7812

E

C 1 = 1,0784

Passo 2

Bom, pensa comigo, ele quer saber a temperatura na superfície do bastão, sendo que ela não pode ser inferior à 200 ° C . Então, qual fórmula para cilindros nos dá algo em relação a temperatura? Lembrou aí? Temos a seguinte relação:

θ S * = T S - T ∞ T i - T ∞ = C 1 exp ⁡ - ζ 1 2 F o J 0 ζ 1 r *

Bom, não sabemos o Fourier, mas podemos achar:

F o = α t L 2

Lembrando que:

α = k ρ c p = 0,3 1040 × 10 3 = 2,88 × 10 - 7 m 2 / s

Portanto:

F o = 0,519

Como, esse F o > 0,2 , podemos de fato utilizar a relação citada anteriormente, e considerar r * = 1 . Porque queremos a superfície do cilindro, certo? Então uma vez que r * = r R . Ou seja,

θ S * = 200 - 25 T i - 25 = 1,0784 exp ⁡ - 0,7812 2 × 0,519 J 0 0,7812 ( 1 )

Hum, ta quase! Lembra quem raios é J 0 ? Então, ele é uma função de ordem zero, e todos os valores dele estão tabelados na Tabela B.4.

Bom, vamos à caça então:

J 0 = 0,8529

Achou a mesma coisa aí?? Lembrando que os valores são muito pequenos e variam pouco... você pode querer meter o louco e não interpolar nada! (Nunca te disse isso Rs)

Bom, chega de papo, podemos facilmente achar a temperatura:

θ S * = 200 - 25 T i - 25 = 1,0784 exp ⁡ - 0,7812 2 × 0,519   0,8529

Teremos:

T i = 286,2 ° C

Tranquilo?? Tá comigo?? Tamo quase terminando!!BOraa!

Passo 3

Bom, agora que temos essa temperatura, vamos tentar encontrar qual é a temperatura no eixo do cilindro. Naturalmente, nesse caso r * = r R = 0 .

Portanto:

T 0 - 25 286,2 - 25 = 1,0784 exp ⁡ - 0,7812 2 × 0,519   J 0 0

Mas, na tabela, vemos que J 0 = 1 . Então teremos:

T 0 = 230,21 ° C

Essa será a máxima temperatura no eixo do cilindro, e a mínima naturalmente será 200 ° C , foi essa a temperatura que o enunciado nos deu:

∆ T = 230,21 - 200 = 30,21

Vimos então que essa diferença de temperatura não é menor do que 10 ° C , logo poderíamos deixar o bastão resfriar por mais tempo, a fim de se reduzir a temperatura máxima do cilindro. Reduzindo essa diferença.

Resposta

Portanto, o bastão deve ser aquecido até uma temperatura de 286,2 ° C antes de passar pela prensagem. E como a diferença de temperaturas foi maior do que 10 ° C , uma forma de se obter uma melhor qualidade, seria aumentar o tempo de exposição na esteira.

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