Enunciado

Em fevereiro de 1998, houve o rompimento da barragem de terra da represa California Jim, no sul de Rhode Island. A enchente resultante provocou uma destruição temporária no povoado de Peace Dale, próximo à barragem. A represa tem uma área de 6,9 hectares e 4,6 m de profundidade e estava cheia devido às fortes chuvas. A brecha aberta na barragem tinha 6,7 m de largura e 4,6 m de profundidade. Avalie o tempo necessário para a represa ser drenada até a profundidade de 0,61 m.

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Nessa questão, temos uma barragem de área A b = 6,9   h a = 69000   m ² e profundidade de 4,6   m , onde fortes chuvas abrem uma brecha de largura b = 6,7   m e profundidade 4,6   m .

A questão então nos pede pra calcular o tempo necessário pra represa ser drenada até a profundidade de 0,61   m .

Olhe esse esquema pra entender melhor o problema:

Dá uma olhada nessa figura. Ela lembra muito retângulo com contração lateral, e sua equação é dada na Tabela 10.2 na página 742. Vamos usar ela pra adaptar uma expressão pra vazão de água saindo da barragem:

Q = 0,581 b - 0,1 y g 1 / 2 y 3 / 2

Nos próximos passos vamos montar uma equação pra resolver esse problema, então vem comigo!

Passo 2

Pra começo de conversa, vamos fazer um balanço de massa:

d m d t + ρ Q = 0

Vamos lembrar que m = ρ A b y :

ρ A b d y d t + ρ Q = 0

Vamos lembrar que a vazão volumétrica de água que sai da barragem Q a gente definiu no passo anterior:

A b d y d t = - 0,581 b - 0,1 y g 1 / 2 y 3 / 2

Aqui nessa parte, a gente pode fazer uma simplificação pra deixar o problema mais simples. Dá pra perceber que b ≫ 0,1 y em qualquer situação, e, portanto a gente pode desconsiderar esse termo pra deixar a EDO mais simples.

Sendo assim:

A b d y d t = - 0,581 b g 1 / 2 y 3 / 2

Passo 3

Pra resolver a EDO, basta a gente separar as variáveis e integrar t   de [ 0 ,   t ] e y de [ 4,6   m ; 0,61   m ] :

∫ 4,6 0,61 y - 3 / 2 d y = - 0,581 b g 1 2 A b ∫ 0 t d t

- 2 1 0,61 1 2 - 1 4,6 1 2 = - 0,581 b g 1 2 A b t

- 1,628 = - 0,581 b g 1 2 A b t

Precisamos só substituir a grandezas que conhecemos pra calcular o tempo necessário pra drenar a represa:

t = 9213   s = 2,56   h

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

O tempo necessário para a represa ser drenada é t = 2,56   h

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