Enunciado

A figura ilustra esquematicamente um difusor cônico, que é projetado para aumentar a pressão e diminuir a energia cinética. Vamos considerar que o ângulo α seja pequeno ( α   <   10 ° ) , de modo que t g   α   ≈   α e r e   =   r i   +   α l , em que ri é o raio de entrada do difusor, r e é o raio na saída e l é o comprimento do difusor. O escoamento em um difusor é complexo, mas aqui vamos considerar que cada camada do escoamento do fluido no difusor é laminar, como em um tubo cilíndrico com seção transversal de área constante. Baseado em um raciocínio similar aquele apresentado na Seção 8.3, a diferença de pressão Δ p entre as extremidades de um tubo cilíndrico é

∆ p = 8 μ π Q ∫ 0 x 1 r 4 d x

em que x é a localização no difusor, μ é a viscosidade dinâmica do fluido e Q é a vazão. A equação acima é aplicável para escoamentos em um difusor considerando que a força inercial e efeitos de saída são desprezíveis. Deduza uma expressão para a resistência hidráulica, R h i d   =   Δ p / Q , do difusor.

Passo 1

Neste problema é apresentado um escoamento laminar ao longo de um difusor cônico e solicitada a expressão da resistência hidráulica ( R h i d ).

Sabendo que:

R h i d = ∆ p Q

E que o enunciado forneceu a diferença de pressão entre as extremidades do tubo conforme expressão:

∆ p = 8 μ π Q ∫ 0 x 1 r 4 d x

Então, o R h i d poderá ser calculado como:

R h i d = 8 μ π Q ∫ 0 x 1 r 4 d x Q

R h i d = 8 μ π ∫ 0 x 1 r 4 d x

Passo 2

O cálculo de R h i d exigirá a obtenção da variável r como função de x , pois a integral a ser desenvolvida é com relação ao parâmetro x .

Considerando a Figura acima e aplicando trigonometria, sabendo que o enunciado admitiu que tan ⁡ α ≈ α , então pode-se escrever que:

α ≈ tan ⁡ α = r - r i x

De forma que r pode ser escrito como sendo função de x :

r = r i + α x

Passo 3

Então conhecendo a expressão de R h i d e r como função de x , é possível desenvolver a seguinte expressão:

R h i d = 8 μ π ∫ 0 x 1 r 4 d x

R h i d = 8 μ π ∫ 0 l 1 ( r i + α x ) 4 d x

Usando o método de substituição para resolver a integral e fazendo:

U = ( r i + α x )

d U = α d x

De forma que:

d x = d U α

Considerando as variáveis de substituição, R h i d é escrito como:

R h i d = 8 μ π ∫ r i r i + α l 1 U 4 d U α

Realizando a integração:

R h i d = 8 μ α π ∫ r i r i + α l d U U 4 = 8 μ α π ∫ r i r i + α l U - 4 d U

R h i d = 8 μ α π U - 3 - 3 r i r i + α l

R h i d = - 8 μ 3 α π r i + α l - 3 - r i - 3

Logo, a resistência hidráulica para este problema tem a seguinte expressão:

R h i d = - 8 μ 3 α π 1 r i + α l 3 - 1 r 3

Resposta

R h i d = - 8 μ 3 α π 1 r i + α l 3 - 1 r 3

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