Enunciado

Um filme de espessura constante de um líquido viscoso flui em movimento laminar descendo por uma placa inclinada a um ângulo θ , como na Figura P4.36. O perfil de velocidade é

u = C y 2 h - y                 v = w = 0

Encontre a constante C em termos do peso específico e da viscosidade e do ângulo θ . Encontre a vazão volumétrica Q por unidade de largura em termos desses parâmetros.

Passo 1

Simbora lá pra mais uma!

Existe uma pressão atmosférica ao longo de todo o corpo em y = h , portanto, teremos ∂ p ∂ x = 0 . Podemos fazer facilmente a equação de momento em x, temos o perfil de velocidade ainda, bora lá!

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ v ∂ y = - ∂ p ∂ x + ρ g x + μ ∇ 2 u

Substituindo os perfis e utilizando uma relação trigonométrica para g, teremos:

0 = 0 + ρ g sen ⁡ θ + μ ( - 2 C )

C = ρ g sen ⁡ θ 2 μ

Passo 2

Okay, encontramos (a) já! Bora pra (b).

A vazão volumétrica por unidade de largura é encontrada integrando nosso perfil de velocidade e usando o C que encontramos, assim:

Q = ∫ 0 h u d y = ∫ 0 h C y 2 h - y d y = 2 3 C h 3 = ρ g h 3 sen ⁡ θ 3 μ

Resposta

C = ρ g sen ⁡ θ 2 μ

Q = ρ g h 3 sen ⁡ θ 3 μ

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