Enunciado

Um fio elétrico de 3 mm de diâmetro e 12 m de comprimento é envolto com uma cobertura plástica de 1,5 mm de espessura cuja condutividade térmica e emissividade são k = 0,20   W / m ⋅ K e ε = 0,9 . Medições elétricas indicam que a corrente de 10 A passa através do fio e há queda de tensão de 7 V ao longo dele. Considerando que o fio isolado está exposto ao ar atmosférico calmo a T ∞ = 30   ° C , determine a temperatura na interface entre o fio e a cobertura plástica em funcionamento permanente. Considere que as superfícies que o rodeiam estão mais ou menos na mesma temperatura que o ar.

Passo 1

Vamos lá! É sempre importante começarmos pela colocação das nossas hipóteses do problema! Nesta questão temos uma operação de convecção natural, em regime permanente, o ar é considerado um gás ideal e as suas propriedades são constantes!

Vejamos só. Nosso primeiro passo é determinar qual a temperatura na superfície externa do fio (na superfície da cobertura plástica mesmo).

Para isto, vamos fazer todo aquele procedimento que vocês já conhecem: encontrar o número de Rayleigh, depois o de Nusselt, calcular o h e a transferência de calor. Por fim, obtemos a temperatura.

E é aqui que mora o problema. Como faremos todo este processo se não sabemos a temperatura da superfície, para calcularmos a temperatura de filme e assim obter as propriedades do ar na Tabela A-15.

Portanto, vamos começar chutando um valor de 50°C. Se o valor final que calcularmos for muito distante, vamos ter de repetir a questão com o valor obtido, até ambos os chutes e o cálculo serem bem próximos!

A energia gerada pelo fio é:

Q ˙ = V I = 7 ⋅ 10 = 70   W

E este calor é transferido para o ambiente por meio de convecção e radiação. Esta é a sacada. Vamos descobrir a temperatura da superfície através da seguinte relação

Q ˙ = Q ˙ c o n v + Q ˙ r a d

Q ˙ = h A s T s - T ∞ + ε σ A s T s 4 - T c i r 4

Q ˙ = h π D L T s - T ∞ + ε σ π D L T s 4 - T c i r 4

Passo 2

Agora, iremos partir para a parte dos cálculos em si. Para calcularmos o coeficiente h , precisamos correlacionar com o número de Nusselt. E para isto, precisamos calcular o número de Rayleigh.

Portanto, temos:

R a L = g β T s - T ∞ L c 3 ν 2 P r = g T s - T ∞ L c 3 T f ⋅ ν 2 P r

Eita! Precisamos obter a viscosidade, o número de Prandt e o comprimento característico! Lembrando que o comprimento característico é dado por L c = D e as propriedades do ar são calculadas na temperatura de filme T f = 50 + 30 / 2 = 40   ° C através da tabela A-15, temos:

R a L = 9,81 ⋅ 50 - 30 ⋅ 0 , 006 3 40 + 273 ⋅ 1 , 702 ⋅ 10 - 5 2 ⋅ 0,7 255 = 339

Percebam que a temperatura T f utilizada no β tem que estar em Kelvin!

Lá na tabela 9-1, na parte de cilindro horizontal (que corresponde a geometria do nosso problema), na faixa do número de Rayleigh de ≤ 10 12 , temos a seguinte correlação para o número de Nusselt:

N u = h L c k = 0,6 + 0,387 ⋅ R a 1 / 6 1 + 0,559 P r 9 / 16 8 / 27 2

Portanto, o coeficiente h é:

h = k L c ⋅ 0,6 + 0,387 ⋅ R a 1 / 6 1 + 0,559 P r 9 / 16 8 / 27 2

h = 0,02 662 0 , 006 ⋅ 0,6 + 0,387 ⋅ 339 1 / 6 1 + 0,559 0,7 255 9 / 16 8 / 27 2

h = 9,3   W / m 2 ⋅ K

Novamente, percebam que a condutividade térmica do ar foi obtida da tabela A-15.

Passo 3

Estamos quase finalizando o cálculo da temperatura da superfície externa! Utilizando a relação de transferência de calor descrita no Passo 1, temos:

Q ˙ = h π D L T s - T ∞ + ε σ π D L T s 4 - T c i r 4

70 = 9,3 ⋅ π 0,006 ⋅ 12 ⋅ T s - 30 + 0,9 ⋅ 5,67 ⋅ 10 - 8 ⋅ π 0,006 ⋅ 12 ⋅ T s + 273 4 - 303 4

Resolvendo a equação acima, obtemos que T s ≈ 50   ° C . Se o nosso valor fosse bem diferente do chute inicial (por exemplo, 80 °C), teríamos que repetir toda a questão assumindo que a temperatura da superfície fosse 80 °C.

Passo 4

Terminamos a questão? Nãoooo! Queremos a temperatura na interface fio-cobertura plástica!

Para a calcularmos, voltamos para o capítulo 3. Condução de calor em corpos cilíndricos em regime permanente, temos a seguinte equação:

Q ˙ = 2 π k L ln ⁡ D 2 D 1 T i - T s

Portanto, a temperatura na interface T i é dada por:

T i = T s + Q ˙ ln ⁡ D 2 D 1 ˙ 2 π k f i o L

T i = 50 + 70 ⋅ ln ⁡ 0,006 0,003 ˙ 2 ⋅ π ⋅ 0,20 ⋅ 12 = 53,2   ° C

E assim finalizamos a questão!

Resposta

A temperatura na interface é 53,2 °C

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