Enunciado

Fluidos grossos como asfalto e ceras e os tubos em que eles escoam são frequentemente aquecidos para reduzir a viscosidade dos fluidos e, assim, reduzir os custos de bombeamento. Considere o escoamento de um fluido através de uma tubulação de 100 m de comprimento e diâmetro externo de 30 cm, no ar ambiente calmo em 0 °C. O tubo é aquecido eletricamente, e um termostato mantém a temperatura da superfície externa do tubo constante a 25 °C. A emissividade da superfície externa do tubo é 0,8, e a temperatura do céu é -30 °C. Determine a potência do aquecedor de resistência de resistência elétrica que precisa ser usando em kW. Além disso, determine o custo da eletricidade associado com o aquecimento da tubulação durante o período de 15 horas sob as condições descritas, considerando que o preço da eletricidade é US$ 0,09/kWh

Passo 1

Vamos lá! É sempre importante começarmos pela colocação das nossas hipóteses do problema! Nesta questão temos uma operação de convecção natural, em regime permanente, o ar é considerado um gás ideal e as suas propriedades são constantes!

Agora, vamos a questão em si. Queremos determinar a potência do aquecedor e o custo para manter o aquecimento da tubulação. Esta potência é exatamente igual ao valor do calor perdido para o ambiente.

Essa é a sacada para o problema! Temos então que determinar qual a energia que ela perde para o ambiente (convecção + radiação).

Em relação a radiação, todos os dados necessários nos foi fornecido. Entretanto, em relação a convecção, nós não temos o coeficiente de transferência de calor h . Portanto, precisamos começar a questão calculando-o!

Passo 2

Agora, iremos partir para a parte dos cálculos em si. Para calcularmos o coeficiente h , precisamos correlacionar com o número de Nusselt. E para isto, precisamos calcular o número de Rayleigh.

Portanto, temos:

R a L = g β T s - T ∞ L c 3 ν 2 P r = g T s - T ∞ L c 3 T f ⋅ ν 2 P r

Eita! Precisamos obter a viscosidade, o número de Prandt e o comprimento característico! Lembrando que o comprimento característico é dado por L c = D e as propriedades do ar são calculadas na temperatura de filme T f = 25 + 0 / 2 = 12,5   ° C através da tabela A-15, temos:

R a L = 9,81 ⋅ 25 - 0 ⋅ 0 , 3 3 12,5 + 273 ⋅ 1,448 ⋅ 10 - 5 2 ⋅ 0,7 330

R a L = 8,1 ⋅ 10 7

Percebam que a temperatura T f utilizada no β tem que estar em Kelvin!

Lá na tabela 9-1, na parte de cilindro horizontal (que corresponde a geometria do nosso problema), na faixa do número de Rayleigh de ≤ 10 12 , temos a seguinte correlação para o número de Nusselt:

N u = h L c k = 0,6 + 0,387 ⋅ R a 1 / 6 1 + 0,559 P r 9 / 16 8 / 27 2

Portanto, o coeficiente h é:

h = k L c ⋅ 0,6 + 0,387 ⋅ R a 1 / 6 1 + 0,559 P r 9 / 16 8 / 27 2

h = 0,0 2458 0 , 3 ⋅ 0,6 + 0,387 ⋅ 8,1 ⋅ 10 7 1 / 6 1 + 0,559 0,733 9 / 16 8 / 27 2

h = 4,36   W / m 2 ⋅ K

Novamente, percebam que a condutividade térmica do ar foi obtida da tabela A-15.

Passo 3

Estamos quase finalizando! Agora, basta considerarmos o efeito da convecção e da radiação no cálculo da transferência de calor! Sendo assim, temos:

Q ˙ = Q ˙ c o n v + Q ˙ r a d

Q ˙ = h A s T s - T ∞ + ε σ A s T s 4 - T c i r 4

Q ˙ = h π D L T s - T ∞ + ε σ π D L T s 4 - T c i r 4

Q ˙ = 4,36 ⋅ π ⋅ 0,3 ⋅ 100 ⋅ 25 - 0 + 0,8 ⋅ 5,67 ⋅ 10 - 8 ⋅ π ⋅ 0,3 ⋅ 100 ⋅ 298 4 - 24 3 4

Q ˙ = 29,1   k W

OBS: na parte da radiação, é fundamental que a temperatura esteja em Kelvin!

Logo, a potência do aquecedor necessária é de 103 W.

Passo 4

Por fim, vamos calcular o custo para mantermos a energia em um período de 15 horas. Portanto, temos:

C u s t o = V a l o r ⋅ Q ˙ ⋅ Δ t

C u s t o = 0,09 ⋅ 29,1 ⋅ 15 = U S $   39,29

Resposta

A potência do aquecedor é 29,1 kW. O custo para manter esta energia é de US$ 39,29.

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