Enunciado

Para o fluido descendo entre duas paredes verticais paralelas (Prob. 9–82), encontre uma expressão para a vazão em volume por unidade de largura V ˙ L em função de ρ ,   μ ,   h   e   g . Compare seu resultado com aquele do mesmo fluido descendo ao longo de uma parede vertical com uma superfície livre substituindo a segunda parede (Exemplo 9–17), e tudo o mais permanecendo igual. Discuta as diferenças e forneça uma explicação física.

Passo 1

Shoooow galerinha de peão !!!

Bora seguir?

Nós queremos achar aqui V ˙ L , não é verdade?

E para isso nós podemos usar uma equação bem simples:

V ˙ L = ∫ w . d x

Se lembram do problema passado?

Nós só teremos a componente w da velocidade diferente de zero, e esta varia com relação a x!!

Também sabemos que o x pode ir de - h 2 até h 2 , então:

V ˙ L = ∫ - h 2 h 2 w . d x

Substituindo w :

V ˙ L = ∫ - h 2 h 2 ρ g x 2 2 μ - ρ g h 2 8 μ . d x

V ˙ L = ρ g 2 μ x 3 3 - ρ g h 2 8 μ x h 2 - h 2

Aplicando o intervalo:

V ˙ L = ρ g 6 μ h 3 8 + h 3 8 - ρ g h 3 8 μ

V ˙ L = ρ g h 3 24 μ - ρ g h 3 8 μ

V ˙ L = - 2 ρ g h 3 24 μ

V ˙ L = - ρ g h 3 1 2 μ

Passo 2

No exemplo 9,17 por sua vez, o x pode ir de 0 até h , e o valor de w é dado por:

w = ρ g x 2 2 μ - ρ g h μ x

Substituindo na integral:

V ˙ L = ∫ 0 h ρ g x 2 2 μ - ρ g h μ x . d x

V ˙ L = ρ g 2 μ x 3 3 - ρ g h μ x 2 2 h 0

Aplicando o intervalo:

V ˙ L = ρ g 6 μ h 3 - 0 - ρ g h 2 μ h 2 - 0

V ˙ L = ρ g h 3 6 μ - ρ g h 3 2 μ

V ˙ L = - 2 ρ g h 3 6 μ

V ˙ L = - ρ g h 3 3 μ

O sinal negativo só nos indicam que o fluxo está descendo !!

Quando nós analisamos estes dois casos podemos perceber que V ˙ L para o caso de uma parede vertical e uma superfície livre é quatro vezes maior do que o caso de duas paredes verticais sem superfície livre.

E por que isso?

Quando temos duas paredes o fluido fica retido por tensões mais viscosas, levando a um perfil de velocidade parabólico. Agora, quando temos uma parede única, a superfície livre não apresenta tensão de cisalhamento e, portanto, o fluido flui mais livremente.

Tranquilo, não foi?

Resposta

V ˙ L = - ρ g h 3 12 μ     |     V ˙ L = - ρ g h 3 3 μ

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