Enunciado

Repita o Exemplo 9–17, coma diferença de que a parede é inclinada no ângulo α   (Fig. P9–89). Encontre expressões para os campos de pressão e velocidade. Como verificação certifique – se que o seu resultado concorda com o do Exemplo 9–17 quando um α = 90 ° . [Dica: É mais conveniente usar o sistema de coordenadas ( s ,   y ,   n ) com componentes de velocidade ( u s , v ,   u n ) , onde y está para dentro da página na Fig. P9-84. Desenhe o perfil de velocidade adimensional u s * versus n * no caso no qual α = 60 ° . ]

Passo 1

Animados para continuar??

Eu espero que siiim !!

Vamos ter que fazer algumas observações, ok?

O problema já nos disse que o escoamento é permanente e incompressível !!

Sabemos pelo problema que o escoamento é constante, ou seja, as derivadas com relação ao tempo são iguais a zero !!

Também vimos que o escoamento é paralelo, o que isso nos diz? Que a componente n da velocidade, u n , é igual a zero em todos os lugares !!

Se o escoamento ocorre apenas com relação ao eixo n s não há velocidade na direção y , ou seja, v = 0 , assim como todas as suas derivadas parciais !!

E para finalizar nossos comentários, que são muitíssimos úteis (não se deixem enganar pela preguiça !) existe a força gravitacional no sentido negativo de z, lembrando da trigonometria:

g n = - g . cos ⁡ α

g s = g . sen ⁡ α

Beleza !! Agora nós podemos começar lembrando da equação da continuidade:

∂ u s ∂ s + ∂ v ∂ y + ∂ u n ∂ n = 0

As componentes da velocidade são dadas pelo problema, não é verdade?

u n = 0

v = 0

Podemos substituir:

∂ u s ∂ s + ∂ 0 ∂ y + ∂ 0 ∂ n = 0

∂ u s ∂ s = 0

Para satisfazer a equação de Bernoulli a componente u s da velocidade não pode variar com relação a s, nem com relação a y, certo? Já que nós não estamos trabalhando com o eixo y   aqui !!

Então a única opção é que u s varie com relação a n , ou melhor, u s = u s n .

Passo 2

Se a equação da continuidade é satisfeita nós podemos usar a equação de Navier – Stokes.

Para a direção n, nós temos que:

ρ ∂ u n ∂ t + u s ∂ u n ∂ s + v ∂ u n ∂ y + u n ∂ u n ∂ n = - ∂ P ∂ s + ρ g s + μ ∂ 2 u n ∂ s 2 + ∂ 2 u n ∂ y 2 + ∂ 2 u n ∂ n 2

Como u n = v = 0 :

∂ P ∂ n = ρ g . cos ⁡ α

Integrando:

∫ ∂ P ∂ n = ∫ - ρ g . cos ⁡ α

∫ ∂ P = ∫ - ρ g . cos ⁡ α . d n

P = - ρ g n . cos ⁡ α + C 1

E agora? O que faremos?

Precisamos achar esta constante de integração que apareceu e, por isso, vamos usar nossa tão querida condição de contorno!!

Passo 3

Segundo a figura, na superfície livre, ou seja, quando n = h teremos P = P a t m :

P a t m = - ρ g h . cos ⁡ α + C 1

C 1 = P a t m + ρ g h . cos ⁡ α

E agora é só colocar na pressão:

P = - ρ g n . cos ⁡ α + P a t m + ρ g h . cos ⁡ α

P = - ρ g . cos ⁡ α h - n + P a t m

Podemos conferir nossa equação para o Exemplo 9-17, quando α = 90 ° :

P = - ρ g . cos ⁡ 90 ° h - n + P a t m

P = P a t m

Comprovando o que achamos, certo?

Então para a pressão nós já achamos !! Vamos para a velocidade?

Aqui nós vamos analisar a componente na direção s:

ρ ∂ u s ∂ t + u s ∂ u s ∂ s + v ∂ u s ∂ y + u n ∂ u s ∂ n = - ∂ P ∂ n + ρ g n + μ ∂ 2 u s ∂ s 2 + ∂ 2 u s ∂ y 2 + ∂ 2 u s ∂ n 2

Se u s   só varia com relação a n:

∂ u s ∂ t = ∂ u s ∂ s = ∂ u s ∂ y = ∂ 2 u s ∂ s 2 = ∂ 2 u s ∂ y 2 = 0

E lembrando que na direção n não vai haver gradiente de pressão:

∂ P ∂ n = 0

Então:

ρ 0 + u s 0 + 0 0 + 0 ∂ u s ∂ n = - 0 + ρ g . s en ⁡ α + μ 0 + 0 + ∂ 2 u s ∂ n 2

μ ∂ 2 u s ∂ n 2 = - ρ g . sen ⁡ α

Integrando a primeira vez:

∂ ∂ n ∫ ∂ u s ∂ n = - 1 μ ∫ ρ g . sen ⁡ α

∂ ∂ n ∫ ∂ u s = - 1 μ ∫ ρ g . sen ⁡ α . d n

∂ u s ∂ n = - ρ g n . sen ⁡ α μ + C 1

Integrando a segunda vez:

∫ ∂ u s ∂ n = ∫ - ρ g n . sen ⁡ α μ + C 1  

∫ ∂ u s = ∫ - ρ g n . sen ⁡ α μ + C 1 . d n

u s = - ρ g n 2 . sen ⁡ α 2 μ + C 1 n   + C 2

E agora? O que faremos?

Precisamos achar estas constantes de integração que apareceram e, por isso, vamos usar nossa tão queridas condições de contorno!!

Passo 4

Segundo a condição de contorno antiderrapante, as paredes do tanque são estacionárias, ou seja, quando n = 0     não há velocidade:

u s = 0 ,     v = 0 ,     u n = 0

Já na superfície livre, n = h , não há tensão de cisalhamento:

∂ u s ∂ n = 0

Substituindo a condição de contorno para n = 0 :

0 = - ρ g 0 2 . sen ⁡ α 2 μ + C 1 0   + C 2

C 2 = 0

E colocando a segunda condição:

0 = - ρ g h . sen ⁡ α μ + C 1

C 1 = ρ g h . sen ⁡ α μ

Substituindo o valor das constantes na componente da velocidade:

u s = - ρ g n 2 . sen ⁡ α 2 μ + ρ g h . sen ⁡ α μ n  

u s = ρ g . sen ⁡ α 2 μ 2 h - n n

Passo 5

Achamos a velocidade, mas também queremos o perfil em termos adimensionais!!

Para isso vamos começar reorganizando esta equação:

u s μ ρ g h 2 = sen ⁡ α 2 2 - n h n h    

Chamando:

u s μ ρ g h 2 = u s *

n h = n *

Substituindo:

u s * = sen ⁡ α 2 2 - n * n *

Quando α = 60 ° :

u s * = sen ⁡ 60 ° 2 2 - n * n *

u s * = 0,433 2 - n * n *

Como os valores máximos para n são 0 e h , teremos que:

0 ≤ n * ≤ 1

Substituindo na fórmula:

Agora é só fazer um gráfico bem bonito e descobriremos o perfil da velocidade:

E chegamos ao fim de mais uma beem legal !!

Resposta

u s = ρ g . sen ⁡ α 2 μ 2 h - n n

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

5.30 Um campo de escoamento incompressível, sem atrito, é especificado pela função de corrente ψ = - 5 A x - 2 A y , em que A = 2m / s e x e y são coordenadas em metros.(a) Esboce as linhas de corrent
5.26 Determine a família de funções ψ que resultará do campo de velocidades V → = 2 y 2 x + 1 i ^ + [ x x + 1 - 2 y 2 ] j ^ .
5.24 Um campo de velocidade em coordenadas cilíndricas é dado por V → = ê r A / r + ê θ B / r ê ê , em que A e B são constantes com dimensões de m 2 / s . Isso representa um possível escoamento incomp
5.27 O Campo de velocidade do Problema 5.24 representa um possível caso de escoamente incompressível? Se afirmativo, avalie e trace a função de corrente para o escoamento. Se negativo, avalie a taxa d
5.31 Um perfil de velocidade linear foi usado para modelar o escoamento em uma camada-limite laminar e imcompressível no Problemas 5.10. Deduza a função de corrente para este campo de escoamento. Loca