Enunciado

Um fluido incompressível escoa em regime permanente por meio de um canal plano divergente. Na seção de entrada, de altura H , o escoamento é uniforme com módulo V 1 . Na saída, de altura 2 H , o perfil de velocidade é

V 2 = V m cos ⁡ π y 2 H

em que y é medido a partir da linha de centro do canal. Expresse V m em termos de V 1 .

Passo 1

Nos foi dado no problema que:

Altura da entrada: H

Velocidade de entrada: V 1  (velocidade uniforme)

Altura da saída: 2 H

A velocidade na saída:

V 2 = V m cos ⁡ π y 2 H

Passo 2

Considerando o volume de controle, como mostrado na figura:

Temos que assumir que o fluxo é constante. Assim, para um fluido incompressível em regime permanente, temos que equação de conservação de massa é:

∫ C S   V → ⋅ d A → = 0

E podemos reescrever da seguinte maneira:

∫ 1   V → ⋅ d A → + ∫ 2   V → ⋅ d A → = 0

Na seção 1, o vetor de velocidade e o vetor de área agem em direções opostas. Portanto, o sinal de  V → ⋅ d A → é negativo na seção 1.

Na seção 2, o vetor de velocidade e o vetor de área agem nas mesmas direções. Portanto, o sinal de  V → ⋅ d A → é positivo na seção 2.

Passo 3

Assim, podemos reescrever a equação da conservação de massa da seguinte maneira:

- ∫ 1   V 1 d A + ∫ 2   V 2 d A = 0

Pois temos apenas o componente x da velocidade na entrada e na saída.

Na entrada, temos velocidade uniforme, a equação acima se torna:

∫ 2   V 2 d A = V 1 A 1

Suponha que w seja a largura da seção divergente, temos então que d A = w d y e que A 1 = w H .

Assim, a equação acima pode ser escrita como:

∫ - H H V 2 w d y = V 1 w H

Passo 4

Para resolver essa equação da conservação de massa e encontrar V m , basta substituirmos os elementos da equação fornecidos no enunciado. Assim, temos que:

∫ - H H V m cos ⁡ π y 2 H w d y = V 1 w H

w V m ∫ - H H cos ⁡ π y 2 H d y = V 1 w H

V m ∫ - H H cos ⁡ π y 2 H d y = V 1 H

V m 2 H π sen ⁡ π y 2 H - H H = V 1 H

V m 2 H π sen ⁡ π H 2 H - sen ⁡ - π H 2 H = V 1 H

V m 2 H π sen ⁡ π 2 - sen ⁡ - π 2 = V 1 H

V m 2 H π 1 + 1 = V 1 H

V m 4 H π = V 1 H

V m = V 1 H π 4 H

V m = π 4 V 1

Portanto, temos que V m = π 4 V 1 .  

Resposta

V m = π 4 V 1

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