Enunciado

A força de fixação de uma peça durante uma operação de torneamento mecânico é causada por óleo de alta pressão suprido por uma bomba. O óleo vaza axialmente através de um espaço anular com diâmetro D , comprimento L e folga radial a . O membro interno do anel gira com velocidade angular ω . Potência é requerida tanto para bombear o óleo quanto para vencer a dissipação viscosa no espaço anular. Desenvolva expressões em termos da geometria especificada para a potência da bomba, P p , e para a potência de dissipação viscosa, P v . Mostre que a potência total requerida é minimizada quando a folga radial, a , é escolhida de forma que P v = 3 P p .

Passo 1

Tá legal, a primeira coisa que devemos fazer é identificar que podemos modelar esse problema como sendo duas placas estacionárias e paralelas (com a placa superior em movimento), dessa forma a vazão será dada pela equação 8.6c:

Q = l a 3 Δ p 12 μ L

Beleza, agora, como temos a placa superior em movimento e a placa inferior parada, sabemos que teremos um perfil de velocidade linear, dado por:

d u d y = V a

No entanto, essa velocidade pode ser escrita em função da velocidade angular e do diâmetro do espaço anular, então, temos:

V = ω R → V = ω D 2

Então, o perfil de velocidade será:

d u d y = ω D 2 a

Passo 2

Agora, sabemos que podemos escrever a potência viscosa P v como sendo o produto do torque viscoso gerado pela tensão de cisalhamento e a rotação ω , então, temos:

P v = T ω

No entanto, o torque viscoso é dado pela força viscosa vezes o raio anular, então, temos:

T = F R = τ A D 2 → T = τ 2 π R L D 2 = τ π D 2 L 2

E, sabendo que a tensão de cisalhamento é dada por:

τ = μ d u d y

Substituindo a expressão encontrada para d u / d y , temos:

τ = μ ω D 2 a

E a equaçã do torque se torna:

T = τ π D 2 L 2 = μ ω D π D 2 L 2 a ( 2 ) → T = μ ω π D 3 L 4 a

Então, substituindo essa expressão na equação para a potência viscosa, temos:

P v = T ω → P v = μ ω 2 π D 3 L 4 a

Passo 3

Agora, sabemos que a potência da bomba P p é dada pelo produto entre a vazão volumétrica e a queda de pressão, então, temos:

P p = Q Δ p

Substituindo a expressão descrita no passo 1 para a vazão nessa expressão, temos:

P p = l a 3 Δ p 12 μ L Δ p → P p = π D a 3 Δ p 2 12 μ L

Passo 4

Então, a potência total requerida será a soma das potências viscosa e da bomba, então, temos:

P T = P v + P p → P T = μ ω 2 π D 3 L 4 a + π D a 3 Δ p 2 12 μ L

Então, para mostrar que a potência total requerida é minimizada quando a folga radial, a , é escolhida de forma que P v = 3 P p , precisamos derivar a expressão acima em função de a e igualar ela a zero, então, temos:

d P T d a = - μ ω 2 π D 3 L 4 a 2 + π D a 2 Δ p 2 4 μ L = 0

No entanto, conforme dito no enunciado, sabemos que a potência ótima é obtida quando P v = 3 P p . Então, substituindo as expressões acima em função das potências, teremos:

- P v a + 3 P p a = 0 → P v a = 3 P p a → P v = 3 P p

Que é exatamente o que queríamos mostrar.

Resposta

P v = μ ω 2 π D 3 L 4 a

P p = π D a 3 Δ p 2 12 μ L

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O perfil de velocidade do escoamento laminar completamente desenvolvido em tubo circular é dado em m/s por u r = 6 ( 1 - 100 r 2 ) , onde r é a distância radial do eixo central do tubo em m. Determine
Considere o escoamento de um reservatório através de um tubo horizontal de comprimento L e diâmetro D que penetra na parede lateral a uma distância vertical H da superfície livre. A vazão através de u
Um sistema de tubulação equipado com uma bomba opera estacionariamente. Explique como o ponto operacional (a vazão e a perda de carga) é estabelecido.
Para um sistema de tubulação, defina a curva do sistema, a curva característica e o ponto operacional em um diagrama de carga versus vazão.
Reconsidere o Problema 8-66. Para drenar o tanque mais rapidamente, uma bomba é instalada próxima à saída do tanque. Determine quanta entrada de potência de bomba é necessária para estabelecer uma vel