Enunciado

A fórmula de Hazen-Williams da hidráulica para a vazão em volume Q em um tubo de diâmetro D e comprimento L é dada por

Q ≈ 61,9 D 2,63 Δ p L 0,54

em que Δ p é a queda de pressão requerida para manter o escoamento. Quais são as dimensões da constante 61,9 ? Essa fórmula pode ser usada com confiança para vários líquidos e gases?

Passo 1

A questão pede a dimensão da constante, para encontrarmos ela, vamos considerar que a equação é dimensionalmente homogênea, então se soubermos a dimensão de cada outra grandeza, podemos achar a dimensão da constante.

Passo 2

Começamos pegando a dimensão de cada termo separado:

Q = L 3 / T

D = L

Δ p = M / L T 2

L = L

A última igualdade tem dimensão de comprimento e o termo que aparece na equação é L .

Passo 3

Agora usamos esses termos pra analisar a equação:

L 3 / T ≈ 61,9 L 2,63 M / L T 2 L 0,54

Como o lado esquerdo é comprimento ao cubo sobre tempo, o lado direito precisa ter essa mesma forma, mas a única maneira de respeitar isso é através da constante.

Vamos primeiro organizar alguns termos:

L 3 / T ≈ 61,9 L 2,63 M L 2 T 2 0,54 = 61,9 L 2,63 M 0,54 L 1,08 T 1,08

Como dentro dos parênteses tem um termo de dimensão de massa, a dimensão da constante precisa dividir o lado direito pela mesma dimensão, a mesma coisa vale para o tempo. Além disso, ela precisa fazer o L do lado direito chegar a L 3 que é a dimensão do lado esquerdo.

Então:

61,9 = L 1,45 T 1,08 M 0,54 = L 1,45 T 1,08 M 0,54

Por causa dessas potências fracionarias, a equação não pode ser usada com confiança como o enunciado pergunta, se os valores de Δ p e D forem próximos de zero ou altos, a função provavelmente irá divergir.

Resposta

61,9 = L 1,45 T 1,08 M 0,54

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