Enunciado

Um forno elétrico com duas seções de aquecimento, superior e inferior, é usado para tratar termicamente um revestimento que é aplicado em ambas as superfícies de uma placa metálica que é inserida na metade da distância entre os aquecedores.

Os aquecedores e a placa apresentam dimensões de 2 m por 2 m, e cada aquecedor está separado da placa por uma distância de 0,5 m. Cada aquecedor é isolado termicamente no seu lado externo e tem uma emissividade de 0,9 na superfície exposta interna. A placa e as paredes laterais têm emissividades de 0,6 e 0,3, respectivamente. Esboce o circuito (rede) de radiação equivalente ao sistema e identifique todas as resistências e potenciais pertinentes. Para as condições especificadas, obtenha a potência elétrica exigida e a temperatura da placa.

Passo 1

Vamos lá!

A primeira coisa que o nosso problema pede é pra a gente esboçar o circuito de radiação!! Mas repare que o sistema é simétrico! Temos um aquecedor em cima idêntico ao aquecedor de baixo! Vamos então considerar apenas metade do sistema! Beleza?!!

Considerando o aquecedor como superfície 1 , as paredes laterais são a superfície 2 e a placa como superfície 3 ,podemos desenhar o esquema:

Passo 2

Agora vamos ir atrás da potência elétrica exigida, q e l e = q 1 !

Como as paredes são isoladas:

q 1 = σ ( T 1 4 - T 2 4 ) 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 1 F 12 + 1 A 1 F 13 + 1 A 2 F 23 - 1 + 1 - ε 2 ε 2 A 2

Se A 1 = A 3 = 2 m × 2 m = 4   m e A 2 = 4 × 0,5 × 2 = 4   m , então A 1 = A 2 e podemos isolar as áreas:

q 1 = A σ ( T 1 4 - T 2 4 ) 1 - ε 1 ε 1 + 1 F 12 + 1 F 13 + 1 F 23 - 1 + 1 - ε 2 ε 2

Para achar F 1 3 vamos usar a figura 13.4 :

Y L = 2 0,5 = 4 ; X L = 2 0,5 = 4

Achamos F 1 3 = 0 , 62 , pela regra da soma:

F 1 2 = 1 - 0 , 6 2 = 0 , 38

Pela regra da simetria:

F 1 3 = F 32 = 0,62

Lembrando que σ = 5,67 × 10 - 8 W / m 2 K 4 :

q 1 = 4 × 5,67 × 10 - 8 800 4 - 400 4 1 - 0,9 0,9 + 1 0,62 + 1 0,38 + 1 0 , 62 - 1 + 1 - 0,7 0,7

Calculando:

q 1 = 21,4   k W

Mas lembra que a gente dividiu o sistema?!

q e l e = 2 × 21,4   k W

Calculando:

q e l e = 42,8   k W

Passo 3

Agora queremos saber a temperatura da superfície três T 3 !! Vamos fazer um balanço da radiação:

J 1 - J 3 1 A 1 F 13 = J 3 - J 2 1 A 3 F 32

Manipulando:

J 1 - J 3 J 3 - J 2 = A 3 F 32 A 1 F 13 = 0,38 0,62 = 0,621

Dando mais uma arrumadinha:

  J 3 = J 1 + 0,613 J 2 1,613

Lembrando que:

J 3 = E b 3 = σ T 3 4

Então:

T 3 = J 1 + 0,613 J 2 1,613 σ   1 4

Passo 4

Mas primeiro precisamos conhecer J 1 e J 2 !! Sabendo que:

q i = E b i - J i 1 - ε i ε i A i

Isolando J i :

J i = E b i - q i A i 1 - ε i ε i      

Substituindo para achar J 1 e J 2 :

J 1 = 5,67 × 10 - 8 × 800 4 - 21,4 × 10 3 4 × 1 - 0 , 9 0 , 9 = 22,679     W / m 2

J 2 = 5,67 × 10 - 8 × 4 00 4 - - 21,4 × 10 - 8 4 × 1 - 0 , 3 0 , 3 = 13,928   W / m 2

Podemos achar T 3 :

T 3 = 22,679 + 0,613 × 13,928 1,613 × 5,67 × 10 - 8   1 4

Calculando:

T 3 = 7 64   K

Uhuuul!!

Resposta

q e l e = 42,8   k W

T 3 = 764   K

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