Enunciado

Um forno para o processamento de materiais semicondutores é formado por uma câmara de carbeto de silício que tem uma zona quente na seção superior e uma zona fria na seção inferior. Com o elevador na posição inferior, um braço robô insere a pastilha de silício nos pinos de apoio. Em uma operação de produção, a pastilha é rapidamente deslocada para a zona quente para cumprir o histórico temperatura-tempo especificado para o processo. Nesta posição, as superfícies superior e inferior da pastilha trocam radiação com as zonas quente e fria, respectivamente, da câmara. As temperaturas das zonas são Tq = 1500 K e Tf = 330 K, e as emissividade e espessura da pastilha são ε = 0,65 e d = 0,78 mm, respectivamente. Com o gás no ambiente a T∞ = 700 K, os coeficientes de transferência de calor por convecção nas superfícies superior e inferior da pastilha são 8 e 4 W/(m2 · K), respectivamente. A pastilha de silício tem uma densidade de 2700 kg/m3 e um calor específico de 875 J/(kg · K).

(a) Para uma condição inicial que corresponde a uma temperatura da pastilha de Tp,i = 300 K e a posição da pastilha como mostrado no esquema, determine a taxa de variação temporal da temperatura da pastilha correspondente (dTp/dt)i.

(b) Determine a temperatura no estado estacionário que a pastilha atinge se ela se mantiver nesta posição. O quanto a transferência de calor por convecção é significativa nesta situação? Esboce como você espera que a temperatura da pastilha varie como uma função da posição vertical do elevador.

Passo 1

Vamos analisar a questão juntos pra entendermos o que você deve fazer para revolvê-la.

Temos uma pastilha de silício em um forno com duas zonas diferentes: uma quente, na parte superior, com uma temperatura de 1500   K nas vizinhanças, e uma fria, na parte inferior, com uma temperatura de 33 0   K . Além disso, há gás dentro no forno à temperatura de 70 0   K .

A gente vai olhar agora um momento onde essa pastilha troca calor tanta com a parte quente quanto com a parte fria do forno, com os mecanismos de transferência de calor demonstrados no esquema ilustrativo abaixo:

Olhando para essa imagem, podemos fazer o seguinte balanço integral de energia na pastilha inteira:

ρ c p d d T p d t =   q r a d , q ' ' + q r a d , f ' ' - q c o n v , q ' ' - q c o n v , f ' '

Sendo:

  • ρ c p d d T p d t   a taxa de acúmulo de energia térmica por unidade de área;
  • q r a d , q ' ' é o fluxo de calor radiante que entra na pastilha a partir do lado quente;
  • q r a d , f ' ' é o fluxo de calor radiante que entra na pastilha a partir do lado frio;
  • q c o n v , q ' ' é o fluxo de calor convectivo que entra na pastilha a partir do lado quente;
  • q c o n v , f ' ' é o fluxo de calor convectivo que entra na pastilha a partir do lado frio.

Se destrincharmos cada um dos tipos de fluxo, podemos calculá-los a partir das equações:

q c o n v ' ' = h ( T ∞ - T p )

q r a d ' ' = ε σ ( T v i z 4 - T p 4 )

Sendo T p a temperatura da superfície da pastilha, T ∞ a temperatura do gás, T v i z a temperatura das vizinhanças (que é diferente para os lados quente e frio), h o coeficiente de transferência de calor (que é diferente para os lados quente e frio), ε a emissividade da pastilha e σ = 5,67 x 10 - 8   W m 2 . K 4 a constante de Stefan–Boltzmann.

Sendo assim, no item (a) devemos calcular d T p d t para uma temperatura inicial de T p , i = 300   K .

No item (b), devemos calcular a temperatura da superfície no estado estacionário ( d T p / d t = 0 ) para as outras condições mantidas iguais. Além disso, nesse mesmo item, devemos também fazer um esboço de um gráfico da variação da temperatura da pastilha com relação a posição vertical.

Pois é, a gente já começou falando muito né? Mas antes da gente ir pro próximo passo, eu quero que você guarde algumas propriedades que vamos utilizar:

d =   0,78   m m = 0,00078   m T ∞ =   700   K ,   h q = 8 W m 2 . K , h f = 4 W m 2 . K T v i z , q = 1500   K ,   T v i z , f = 33 0   K   ε   =   0,65 ρ =   2700 k g m ³ , c p =   875 J k g   ·   K

Passo 2

Para resolver o item (a), vamos reorganizar o balanço realizado no Passo 1:

d T p , i d t = ε σ T v i z , q 4 - T p , i 4 + ε σ ( T v i z , f 4 - T p , i 4 ) - h q T ∞ - T p , i - h f T ∞ - T p , i ρ c p d

Substituindo os valores por termo:

ε σ T v i z , q 4 - T p , i 4 = 0,65 5,67 x 10 - 8   W m 2 . K 4 ( 1500   K ) 4 - ( 300   K ) 4 = 1,86 x 10 5 W m ²  

ε σ T v i z , f 4 - T p , i 4 = 0,65 5,67 x 10 - 8   W m 2 . K 4 ( 33 0   K ) 4 - ( 300   K ) 4 = 1 38,54 W m ²

h q T ∞ - T p , i = 8 W m 2 . K 7 00   K - 300   K = 3200 W m ²

h f T ∞ - T p , i = 4 W m 2 . K 700   K - 300   K = 160 0 W m ²

ρ c p d = 2700 k g m 3   875 J k g   ·   K 0,00078   m = 1842,75 J m 2 .   K  

Vamos substituir a equação inteira:

d T p , i d t = 1,86 x 10 5 W m ² + 138,54 W m ² - 3200 W m 2 - 1600 W m ² 1842,75 J m 2 .   K =   98   K / s

Passo 3

Vamos resolver agora a primeira parte do item (b).

Considerando o estado estacionário ( d T p / d t = 0 ), nosso balanço de energia fica assim:

q r a d , q ' ' + q r a d , f ' ' - q c o n v , q ' ' - q c o n v , f ' ' =   0

Devemos deixar essa equação toda em função de T p .

Primeiro, vamos deixar então os nossos fluxos convectivos em função da temperatura da superfície T p :

q c o n v , q ' ' = h q T p - T ∞ = 8 T p - 700   =   8 T p - 5600

q c o n v , f ' ' = h f T p - T ∞ = 4 T p - 700   = 4 T p - 28 00  

Agora, vamos deixar então os nossos fluxos radiantes em função da temperatura da superfície T p :

q r a d , q ' ' = ε σ T v i z , q 4 - T p 4 = 0,65 5,67 x 10 - 8 1500   4 - T p 4 = 1,87 x 10 5 - 3,69 x 10 - 8 T P 4  

q r a d , f ' ' = ε σ T v i z , f 4 - T p 4 = 0,65 5,67 x 10 - 8 330   4 - T p 4 = 437 - 3,69 x 10 - 8 T p 4  

Substituindo tudo isso no balanço:

1,87 x 10 5 - 3,69 x 10 - 8 T P 4   + 437 - 3,69 x 10 - 8 T p 4 - 8 T p - 5600 - 4 T p - 2800 = 0

Reorganizando a equação para explicitar T p :

7 , 38 x 10 - 8 T p 4 + 12 T p - 1 , 96 x 10 5 = 0

Para encontrar o valor de T p basta resolver a equação acima. Nesta resolução, foi utilizado o método de busca direta em uma calculadora, mas você pode se sentir livre para resolver da maneira que desejar. Sendo assim:

T p =   1251   K

Vamos analisar esse mesmo resultado sem a transferência de calor por convecção:

1,87 x 10 5 - 3,69 x 10 - 8 T P 4   + 437 - 3,69 x 10 - 8 T p 4 = 0

→ 7 , 38 x 10 - 8 T p 4 - 1,874 x 10 5 = 0 → T p 4 = 1,874 x 10 5 7 , 38 x 10 - 8 = 2,54 x 10 12

Resolvendo a equação:

T p = 2,54 x 10 12 1 / 4 = 1262,35   K

Vamos calcular o erro relativo entre esses dois valores:

e r r o   % =   1262,35   K - 1251   K 1251   K = 0,9 %

Como temos um erro menor que 1%, fica claro que a transferência de calor por radiação controla o processo.

Passo 4

Pra fechar a questão, vamo responder agora a última parte da letra (b).

O esquema do gráfico de elevação por temperatura pode ser feito da seguinte forma:

Perceba que, quando mais próximo da zona fria, mais a temperatura tende a entrar em equilíbrio com suas vizinhanças e ficar em 330   K . Da mesma maneira, quanto mais o elevador sobe, mais a temperatura tende a assumir o valor de 150 0   K .

UFA! Demorou um pouco, mas a gente matou a questão juntos! :)

Resposta

(a) O valor da taxa de variação temporal da temperatura da pastilha é d T p , i d t =   98   K / s

(b) O valor da temperatura da superfície no estado estacionário é T p =   1251   K

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