Enunciado

Um reator esférico de aço inoxidável (AISI 302) é usado para armazenar um meio reacional que fornece um fluxo de calor uniforme para a sua superfície interna. O reator é subitamente submerso em um banho líquido a uma temperatura T∞

(a) Considerando que o gradiente de temperatura na parede do reator seja desprezível e um fluxo de calor constante e igual a q’’i, desenvolva uma equação para a variação da temperatura da parede em função do tempo durante o processo transiente. Qual é a taxa inicial de variação da temperatura na parede se q’’i = 105 W/m2?

(b) Qual a temperatura da parede em condições de regime estacionário?

(c) O coeficiente de transferência de calor por convecção depende da velocidade do escoamento do fluido externo ao reator e do fato da temperatura da parede ser ou não elevada o suficiente para induzir a ebulição do líquido. Calcule e represente graficamente a temperatura da parede em regime estacionário em função do valor de h para a faixa 100 ≤ h ≤ 10.000 W/(m2 · K). Existe algum valor de h abaixo do qual a operação seria inaceitável?

Passo 1

Vamos analisar a questão juntos pra entendermos o que você deve fazer para revolvê-la.

Temos um reator esférico que gera um fluxo de calor q i ' ' e é submetido a convecção em um banho líquido com uma temperatura T ∞ maior que a temperatura da superfície do reator, de acordo com o esquema representativo da imagem abaixo:

Pra resolver o item (a), devemos fazer um balanço de energia integral para o reator e calcular a taxa inicial de variação da temperatura da parede.

No item (b), devemos calcular a temperatura da superfície no estado estacionário para as outras condições mantidas iguais.

Por fim, no item (c), vamo colocar a temperatura da parede em função do coeficiente de convecção h , variar esse valor de 100 a 10.000 W ( m ²   ·   K )   e traçar um gráfico com os valores obtidos.

Pois é, a gente já começou falando muito né? Mas antes da gente ir pro próximo passo, eu quero que você guarde algumas propriedades que vamos utilizar:

r i =   0,5   m ,     r o =   0,6   m   T ∞ =   300   K ,   h = 500 W m 2 . K T i = 500   K ρ =   8055 k g m ³ , c p =   510 J k g   ·   K q i ' ' = 10 5 W m ²

Passo 2

Primeiro, a gente vai resolver a letra (a).

A partir da imagem esquemática do Passo 1, vamos fazer um balanço de energia na parede da esfera:

E ˙ a c u m u l a d o = E ˙ e n t r a - E ˙ s a i

Considerando que, segundo o enunciado da questão, não há transferência de calor por condução na parede (pois o gradiente de temperatura na parede do reator seja desprezível), nosso balanço fica assim:

ρ c p V p a r e d e d T d t =   q i ' ' A i - h A o ( T - T ∞ )

Sendo:

  • V p a r e d e =   4 3 π r o 3 - r i 3 , o volume da parede esférica;
  • A i = 4 π r i 2 , a área da superfície interna da esfera;
  • A o = 4 π r o 2 , a área da superfície externa da esfera;

Vamos reorganizar o balanço e explicitar d T / d t :

d T d t = q i ' ' 4 π r i 2 - h 4 π r o 2 ( T - T ∞ ) ρ c p 4 3 π r o 3 - r i 3 = q i ' ' r i 2 - h r o 2 ( T - T ∞ ) ρ c p 1 3 r o 3 - r i 3

Substituindo os valores das propriedades no balanço:

d T d t = ( 10 5 W m 2 ) ( 0,5   m ) ² - 500 W m 2 . K ( 0,6   m ) ² ( 500   K - 300   K ) 8055 k g m 3 510 J k g   ·   K 1 3 ( 0,6 ) ³ - ( 0,5 ) ³ = - 0,088   K / s

Passo 3

Vamos resolver o item (b).

Considerando o estado estacionário ( d T / d t = 0 ), nosso balanço de energia fica assim:

q i ' ' ( 4 π r i 2 ) - h ( 4 π r o 2 ) ( T - T ∞ ) =   0

Reorganizando a equação e substituindo os valores:

T = T ∞ +   q i ' ' r i 2 h r o 2 = 300   K + 10 5 W m 2 0,5 ² 500 W m 2 . K 0,6 ² = 439   K

Passo 4

Pra fechar a questão, vamo responder a letra (c).

Vamo colocar agora a temperatura da superfície em função do coeficiente de convecção h :

T h = T ∞ +   q i ' ' r i 2 h r o 2 = 300   + 10 5 0,5 2 h 0,6 2 =   300   +     6,94 x 10 4 h

Vamos agora traçar um gráfico no Excel, variando h de 100 a 10.000 W ( m ²   ·   K ) :

Pronto, matamos a questão juntos! :)

Resposta

(a) O valor da taxa de variação temporal da temperatura do reator é d T d t =   - 0,088   K / s

(b) O valor da temperatura da superfície no estado estacionário é T =   439   K

(c)

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