Enunciado

Em um funil cônico, com meio ângulo θ = 30 ° , o líquido é drenado através de um pequeno orifício de diâmetro d = 6,25   m m no vértice do funil. A velocidade do líquido através do orifício é dada, aproximadamente, por V = 2 g h , em que y é a altura da superfície livre do líquido acima do orifício. Inicialmente, o funil está cheio até uma altura y 0 = 300   m m . Obtenha uma expressão para o tempo, t , de drenagem do funil. Encontre o tempo de drenagem de 300   m m para 150   m m (uma variação de profundidade de 150   m m ), e de 150   m m para o esvaziamento total (também uma variação de profundidade de 150   m m ). Você pode explicar a discrepância desse tempo? Trace o gráfico do tempo de drenagem t em função de d para esse diâmetro variando de 6,25   m m até 12,5   m m .

Passo 1

Podemos fazer um diagrama do funil cônico da seguinte maneira:

Podemos fazer as seguintes considerações:

Fluido incompressível.

Negligenciar a densidade do ar.

Fluxo uniforme.

Passo 2

Podemos começar a resolver a questão aplicando a equação de continuidade. Assim temos:

∂ ∂ t ∫ V C   ρ d ∀ + ∫ S C   ρ V → ⋅ d A → = 0

Pelas considerações feitas, e tratando o funil como o CV, a equação básica se torna seguinte maneira:

∂ ∂ t ∫ 0 y ρ A f u n i l d y + ρ V A o r i f í c i o = 0

Passo 3

Pelo diagrama, podemos dizer que:

tan ⁡ θ = D / 2 y  

D = 2 y tan ⁡ θ

Aqui,  y é a altura do líquido θ  é o ângulo do semi-cone. A área de do funil pode ser escrita da seguinte forma:

A f u n i l = π D 2 4

Substituindo D , nós temos:

A f u n i l = π 2 y tan ⁡ θ 2 4

A f u n i l = π y 2 tan 2 ⁡ θ

Temos também que a área do orifício é:

A o r i f í c i o = π d 2 4

Passo 4

Assim, podemos substituir a área do funil e do orifício na equação da continuidade. Dessa forma teremos:

∂ ∂ t ∫ 0 y ρ A f u n i l d y + ρ V A o r i f í c i o = 0

∂ ∂ t ∫ 0 y ρ π y 2 tan 2 ⁡ θ d y + ρ V π d 2 4 = 0

ρ π tan 2 ⁡ θ ∂ ∂ t ∫ 0 y y 2 d y + ρ V π d 2 4 = 0

ρ π tan 2 ⁡ θ ∂ ∂ t y 3 3 0 y + ρ V π d 2 4 = 0

ρ π tan 2 ⁡ θ ∂ ∂ t y 3 3 + ρ V π d 2 4 = 0

ρ π tan 2 ⁡ θ y 2 d y d t + ρ V π d 2 4 = 0

ρ π tan 2 ⁡ θ y 2 d y d t = - ρ V π d 2 4

y 2 d y d t = - V d 2 4 tan 2 ⁡ θ

Substituindo V por 2 g y dito no enunciado, temos:

y 2 d y d t = - d 2 2 g y 4 tan 2 ⁡ θ

y 2 y   d y d t = - d 2 2 g 4 tan 2 ⁡ θ

y 3 2   d y d t = - d 2 2 g 4 tan 2 ⁡ θ

Passo 5

Podemos separa as variáveis e integras dos dois lados. Assim temos:

y 3 2   d y = - d 2 2 g 4 tan 2 ⁡ θ d t

∫ y 0 0 y 3 2   d y = - d 2 2 g 4 tan 2 ⁡ θ ∫ 0 t d t

2 y 5 2 5 y 0 0 = - d 2 2 g 4 tan 2 ⁡ θ t

- 2 y 0 5 2 5 = - d 2 2 g 4 tan 2 ⁡ θ t

t = 8 y 0 5 2 tan 2 ⁡ θ 5 d 2 2 g

Portanto, a expressão para o tempo é:

t = 8 y 0 5 2 tan 2 ⁡ θ 5 d 2 2 g

Passo 6

Para encontrar o tempo para drenar, usamos a equação do tempo com a profundidade de 300   m m . Assim, encontramos o tempo para drenagem.

Substituto,   d = 0,00625   m , θ = 30 ° , g = 9,81   m / s 2 , y 0 = 0,3   m e y 0 = 0,15   m na equação tempo temos:

t = 8 0,3   m 5 2 tan 2 ⁡ 30 ° 5 0,00625   m 2 2 × 9,81   m / s 2

t = 152,02   s

t = 2 , 53   m i n

Passo 7

Para encontrar o tempo para drenar de 300   m m para 150   m m , usamos a equação do tempo com as duas profundidades. Assim, encontramos o tempo para drenar de 300   m m e 150   m m então a diferença é a tempo que queremos.

∆ t = t 300 - t 150

Substituto,   d = 0,00 625   m , θ = 30 ° , g = 9,81   m / s 2 , y 0 = 0 , 3   m e y 0 = 0 , 15   m na equação tempo temos:

∆ t = 8 0,3   m 5 2 tan 2 ⁡ 30 ° 5 0,00625   m 2 2 × 9,81   m / s 2 - 8 0,15   m 5 2 tan 2 ⁡ 30 ° 5 0,00625   m 2 2 × 9,81   m / s 2

∆ t = 152,02   s - 26,87   s

∆ t = 125,15   s

∆ t = 2,08   m i n

Portanto o tempo para drenar de 300   m m para 150   m m é 2,08   m i n .

Passo 8

Para encontrar o tempo para drenar de 150   m m para vazio, usamos a equação do tempo com a profundidade de 150   m m .

Substituto,   d = 0,00625   m , θ = 30 ° , g = 9,81   m / s 2 e y 0 = 0,15   m na equação tempo temos:

t = 8 0,15   m 5 2 tan 2 ⁡ 30 ° 5 0,00625   m 2 2 × 9,81 m s 2

t = 26,87   s

t = 0,448   m i n

De 300   m m para 150   m m é um pouco mais longa, porque, embora a taxa de fluxo diminua a área do funil também diminui.

Passo 9

Para traçar o gráfico do tempo de drenagem t em função de d para esse diâmetro variando de 6,25   m m até 12,5   m m podemos substituir,  θ = 30 ° , g = 9,81   m / s 2 , y 0 = 0,3   m na equação do tempo.

t = 8 y 0 5 2 tan 2 ⁡ θ 5 d 2 2 g

t = 8 0,3   m 5 2 tan 2 ⁡ 30 ° 5 d 2 2 × 9,81   m / s 2

t = 0,01029 d 2

Usando a equação acima variando o diâmetro, podemos encontras os tempos de drenagem.

O gráfico de tempo pelo diâmetro foi plotado com uso do software Microsoft Excel com base na tabela acima.

Resposta

t = 8 y 0 5 2 tan 2 ⁡ θ 5 d 2 2 g

t 300 - 0 = 2,53   m i n

t 300 - 150 = 2,08   m i n

t 150 - 0 = 0,448   m i n

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