Enunciado

Considere um escoamento incompressível e permanente de ar padrão em uma camada limite sobre toda a extensão da superfície porosa mostrada. Considere também que a camada limite na extremidade a jusante da superfície tenha um perfil de velocidade aproximadamente parabólico dado por

u U ∞   =   2 y δ   –   y δ 2

Uma sucção uniforme é aplicada ao longo da superfície porosa, como mostrado. Calcule a vazão volumétrica por meio da superfície c d , da superfície porosa de sucção e da superfície b c .

Passo 1

A figura mostra que a ar padrão em uma camada limite sobre toda a extensão da superfície porosa. Podemos aplicar a equação da continuidade no volume de controle desenhado. Assim temos:

∂ ∂ t ∫ V C   ρ d ∀ + ∫ S C   ρ V → ⋅ d A → = 0

Aqui,  ρ é a densidade,  V → é a velocidade,  d ∀ é o diferencial de volume e  d A → é o diferencial de área.

Nos foi dado que o escoamento é incompressível e permanente. Então a equação se reduz a:

∫ S C   ρ V → ⋅ d A → = 0

Para fluxo incompressível, o volume da taxa em um volume de controle fixo deve ser igual à taxa de fluxo de volume fora do volume de controle.

∫ S C   ρ V → ⋅ d A → = Q a b + Q b c + Q c d + Q d a

Q a b + Q b c + Q c d + Q d a = 0

Passo 2

Podemos calcular a taxa de fluxo de volume na superfície c d da seguinte forma:

Q c d = ∫ c d   V → ⋅ d A →

Q c d = ∫ c d   u d A

Q c d = ∫ 0 δ U ∞ 2 y δ   –   y δ 2 w d y

Q c d = U ∞ w y 2 δ   –   y 3 3 δ 2 0 δ

Q c d = U ∞ w δ   –   δ 3

Q c d = 2 3 U ∞ w δ

Substituindo pelos valores conhecidos temos:

Largura da placa:  w = 1,5   m .

A espessura da camada limite:  δ = 0,0015   m .

Velocidade:  U ∞ = 3   m / s .

Substitua os valores na equação acima.

Q c d = 2 3 × 3   m / s × 1,5   m × 0,0015   m

Q c d = 0,0045   m 3 / s

Portanto, a vazão do volume na superfície  c d  é  0,0045   m 3 / s .

Passo 3

Podemos calcular a vazão através da superfície porosa a d da seguinte maneira:

Q a d = V → ⋅ A →

Q a d = V j ^ ⋅ A - j ^

Q a d = - V A

Q a d = - v w L

Aqui temos:

Velocidade: v = - 0,0002   m / s

Largura da placa:  w = 1,5   m

Comprimento da placa: L = 2   m

Q a d = - - 0,0002 m s × 1,5   m × 2   m

Q a d = 6 × 10 - 4   m 3 / s

Passo 4

Podemos calcular a vazão através da superfície a b da seguinte maneira:

Q a b = V → ⋅ A →

Q a b = - V A

Q a b = - U ∞ w δ

Aqui temos:

Velocidade: U ∞ = 3   m / s

Largura da placa:  w = 1,5   m

Altura da placa: δ = 0,0015   m

Q a b = - 3   m / s × 1,5   m × 0,0015   m

Q a b = - 6,75 × 10 - 3   m 3 / s

Passo 5

Podemos calcular a vazão através da superfície b c pela seguinte equação:

Q a b + Q b c + Q c d + Q d a = 0

Q b c = - Q a b - Q c d - Q d a

Substitua os valores conhecidos na relação acima.

Q b c = - - 6,75 × 10 - 3 m 3 s - 0,0045 m 3 s - 6 × 10 - 4 m 3 s  

Q b c = 6,75 × 10 - 3 m 3 s - 0,0045 m 3 s - 6 × 10 - 4 m 3 s  

Q b c = 1,65 × 10 - 3   m 3 / s

Portanto, a vazão do volume através da superfície  b c  é  1,65 × 10 - 3   m 3 / s para cima (ou na direção oposta ao volume de controle).

Resposta

Q c d = 0,0045   m 3 / s

Q a d = 6 × 10 - 4   m 3 / s

Q b c = 1,65 × 10 - 3   m 3 / s

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