Enunciado

Uma galeria de seção quadrada (0,6 m x 0,6 m) esgota ar de uma mina, onde a pressão é de 0,2 mca, para a atmosfera. Calcular a vazão de ar.

Desprezar as perdas singulares. Sabe-se que ν a r = 10 - 5   m 2 / s ; γ a r = 12,7   N / m 3 ; k = 10 - 3   m .

Passo 1

Tá legal, vamos começar aplicando o equilíbrio de energia para o sistema entre os pontos 0 (dentro da mina) e 1, na saída da galeria de seção quadrada, assim, temos:

H 0 = H 1 + H p 0,1

α 0 v 0 2 2 g + p 0 γ + z 0 = α 1 v 1 2 2 g + p 1 γ + z 1 + h f 0,1

Dentro da mina, podemos assumir v 0 = 0 , também podemos considerar não haver diferença de cota entre os dois pontos, então z 0 = z 1 , como a saída da galeria está em contato com a atmosfera, temos p 1 = 0 , então reescrevendo a expressão anterior e abrindo o termo da perda de carga conforme a equação 7.10 dessa seção, temos:

α 0 0 2 g + p 0 γ = α 1 v 1 2 2 g + 0 12,7 + f L v 2 2 g D H

Em que f é o fator de atrito, L é o comprimento da galeria, v é a velocidade do escoamento, que nesse caso é igual a v 1 e D H é o diâmetro hidráulico da seção, então, reescrevendo a expressão e isolando v , temos:

p 0 γ = v 2 2 g α 1 + f L D H → v = 2 g p 0 γ α 1 + f L D H

Passo 2

Agora vamos calcular os termos da equação anterior, vamos começar pelo diâmetro hidráulico com o auxílio das equações 7.2 e 7.3 dessa seção do livro:

R H = A σ

D H = 4 R H

Em que R H é o raio hidráulico, A é a área transversal da seção do escoamento e σ é o perímetro molhado da área do escoamento. No nosso caso, temos uma seção quadrada, então, da primeira equação, temos:

R H = 0,6 2 4 0,6 → R H = 0,15   m

E, o diâmetro hidráulico será:

D H = 4 R H = 4 0,15 → D H = 0,6   m

Podemos também encontrar a pressão dentro da mina com o dado fornecido no enunciado simplesmente multiplicando esse valor pelo peso específico da água, então, temos:

p 0 = γ H 2 O h H 2 O = 10 4 0,2 → p 0 = 2000   P a

E, como o enunciado não mencionou nada a respeito de α 1 , podemos assumir:

α 1 = 1

Substituindo esses valores na equação para a velocidade, temos:

v = 2 g p 0 γ α 1 + f L D H → v = 2 10 2000 12,7 1 + f 500 0,6 → v = 3149,6 1 + 833,3 f

Passo 3

Nesse caso, precisamos resolver o problema de maneira iterativa, adotando um f arbitrário e depois no final verificando se a hipótese adotada é coerente. Então, precisamos recorrer ao diagrama de Moody (figura 7.16 dessa seção), então, precisamos calcular o valor de D H / k que será usado no diagrama, assim, temos:

D H k = 0,6 10 - 3 → D H k = 600

Para resolver o problema, agora precisamos pegar um valor de f que está na curva D H / k , como na maior parte dos casos teremos altos números de Reynolds, vamos sempre começar com um valor de f para o qual a curva no diagrama de Moody seja horizontal (constante), que representa um escoamento rugoso, então, nesse caso:

D H k = 600 → f = 0,023

Então agora vamos retornar à equação para a velocidade do passo 1 e substituir os valores conhecidos:

v = 3149,6 1 + 833,3 f = 3149,6 1 + 833,3 ( 0,023 ) → v = 12,5   m / s

Agora devemos verificar se o valor de velocidade encontrado é coerente com o que assumimos para encontrar f , então, calculando o Reynolds para esse caso:

R e = v D H ν = 12,5 0,6 10 - 5 → R e = 7,5.10 5

Olhando para o diagrama de Moody, para esse valor de R e , a curva com D H / k pode ser considerada constante, então assumimos corretamente o valor de f e o valor de v que encontramos é válido.

Passo 4

Então agora podemos calcular a vazão do sistema:

Q = v A = 12,5 0,6 2 → Q = 4,5   m 3 / s

Resposta

Q = 4,5   m 3 / s

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