Enunciado

Na instalação da figura, deseja-se conhecer o desnível Δ h entre os dois reservatórios de água. Dados: potência fornecida ao fluido N = 0,75   k W ; diâmetro D = 3   c m ; Q = 3   L / s ; L 1,2 = 2   m ; L 3,6 = 10   m ; k s 1 = 1 ; k s 4 = k s 5 = 1,2 ; k s 6 = 1,6 ;   ν = 10 - 6   m 2 / s ; f = 0,02 ; γ = 10 4   N / m 3 .

Determinar também a rugosidade do conduto e a altura h 0 para que a pressão efetiva na entrada da bomba seja nula.

Passo 1

Tá legal, vamos começar aplicando o equilíbrio de energia para o sistema entre os pontos 0 e 7, assim, temos:

H 0 + H B = H 7 + H p 0,7

α 0 v 0 2 2 g + p 0 γ + z 0 + H B = α 7 v 7 2 2 g + p 7 γ + z 7 + H p 0,7

Substituindo os valores conhecidos, temos:

α 0 0 2 2 g + 0 γ + z 0 + H B = α 7 0 2 2 g + 0 γ + z 7 + H p 0,7 → z 7 - z 0 = H B - H p 0,7

Então precisamos encontrar a carga da bomba e a perda de carga entre os pontos 0 e 7.

Passo 2

Começando pelo termo da carga da bomba, podemos escrever a potência da bomba como:

N = γ Q H B → H B = N γ Q = 0,75.10 3 10 4 3.10 - 3 → H B = 25   m

Agora vamos analisar o termo da perda de carga H p 0,7 , como temos os coeficientes de perda localizada em cada um dos pontos, podemos escrever a perda de carga total como:

H p 0,7 = v 2 2 g f L D H + ∑ k s

Agora precisamos encontrar a velocidade do escoamento, como temos a vazão e o diâmetro do tubo, ficou fácil:

Q = v A → v = Q A = Q π D 2 4 = 3.10 - 3 π 0,03 2 4 → v = 4,24   m / s

Como o tubo é cilíndrico, temos D H = D = 0,03   m , então, substituindo os valores conhecidos na equação para a perda de carga:

H p 0,7 = 4,24 2 2 10 0,02 2 + 10 0,03 + 1 + 1,2 + 1,2 + 1,6 → H p 0,7 = 11,7   m

Agora podemos retornar à equação do desnível encontrada no passo 1:

z 7 - z 0 = H B - H p 0,7 = 25 - 11,7 → z 7 - z 0 = Δ h = 13,3   m

Passo 3

Agora precisamos encontrar a rugosidade do conduto, para isso, vamos recorrer ao diagrama de Moody a seguir:

Como já temos a velocidade do escoamento, podemos calcular o número de Reynolds:

R e = v D ν = 4,24 0,03 10 - 6 → R e = 1,27.10 5

Com esse valor e com o fator de atrito dado no enunciado f = 0,02 , cruzando essas informações no diagrama de Moody, interceptamos a curva para:

D H k = 2000

Isolando k e substituindo o valor conhecido de D H temos:

k = D H 2000 = 0,03 2000 → k = 1,5.10 - 5   m

Passo 4

Agora vamos aplicar o equilíbrio de energia entre os pontos 0 e 2:

H 0 = H 2 + H p 0,2

v 0 2 2 g + p 0 γ + z 0 = v 2 2 2 g + p 2 γ + z 2 + H p 0,2

Então, para que a pressão na entrada da bomba seja nula, devemos ter p 2 = 0 , reescrevendo a equação, temos:

0 2 2 g + 0 γ + z 0 = v 2 2 2 g + 0 γ + 0 + f L 1,2 v 2 2 g D H + k s 1 v 2 2 g

Substituindo os valores conhecidos:

z 0 = 4,24 2 2 10 + 0,02 2 4,24 2 2 10 0,03 + 1 4,24 2 2 10 → z 0 = h 0 = 3   m

Resposta

Δ h = 13,3   m

k = 1,5.10 - 5   m

h 0 = 3   m

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