Enunciado

Gás hélio a uma temperatura de corrente livre de T ∞ = 25   °   C está em fluxo paralelo sobre uma placa plana de comprimento L = 3   m e temperatura T s = 85   °   C . Entretanto, os obstáculos colocados no fluxo intensificam o escoamento com o aumento da distância x em relação à aresta frontal, a variação espacial das temperaturas medida na camada limite é correlacionada por uma expressão da forma T ° C = 25 + 60   e x p ( - 600 x y ) , onde x e y estão em metros. Determine e plote a maneira na qual o coeficiente de convecção local h varia com x . Avalie o coeficiente de convecção médio h - para a placa.

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação que descreve a temperatura em função do comprimento x da barra e da altura y da massa de gás que está escoando. A questão pede para encontrarmos o coeficiente convectivo local h que é dado pela equação:

h = - k f ∂ T ∂ y y = 0   T ∞ - T s    

Passo 2

Vamos então primeiro calcular a derivada da função de temperatura em relação a y :

∂ T ∂ y = - 600 x 60 e x p - 600 x y = - 36000 x ⋅ e x p - 600 x y

E aplicamos o ponto y = 0 :

∂ T ∂ y y = 0 = - 36000 x   K / m

Depois colocamos esse resultado na função h :

h = - k f - 36000 x   K / m   T s - T ∞    

Passo 3

Para determinarmos o k f , que é a condutividade térmica do hélio, precisamos fazer a média entre o valor de temperatura da placa e o valor de temperatura da corrente livre:

T - = 25   ° C + 85   ° C 2

T - = 55   ° C = 328   K

Esse valor corresponde a aproximadamente k f = 0,32   W / m ⋅ K

Substituindo ele junto com T ∞ e T s :

h = - 0,32   W / m ⋅ K - 36000 x   K / m   358   K - 298   K    

h = 192 x   W / m ⋅ K

Passo 4

Como dá para ver, h cresce linearmente com x com um coeficiente muito alto para o comprimento da placa que é só 3   m , o gráfico é praticamente uma reta vertical:

Passo 5

Para calcularmos o coeficiente convectivo médio, h - , basta integrarmos a função h de 0 a 3   m e depois dividirmos pelo comprimento da placa, assim:

h - = ∫ 0 3 h   d x L = ∫ 0 3 192 x   d x L

h - = 192 L x 2 2 3 0  

h - = 192   3 2     2 ( 3   m ) W / m ⋅ K

h - = 288   W / m ⋅ K

Ou seja, como se trata de uma função, é necessário somar todos os valores dela no intervalo em que ela está definida (o comprimento da placa) e depois dividir por esse intervalo.

Resposta

h = 192 x

h - = 288   W / m ⋅ K

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