Enunciado

Gases de exaustão de uma fábrica estão sendo expelidos pela chaminé de exaustão de 10 m de altura, 1 m de diâmetro externo, 10 cm de espessura da parede e condutividade térmica de 40   W / m ⋅ K . Os gases de exaustão são descarregados a uma taxa de 1,2 kg/s, enquanto a queda de temperatura entre a entrada e saída do gás na chaminé é de 30 °C, e o calor específico e a pressão constante dos gases de exaustão é 1600   J / k g ⋅ K . Em um determinado dia, a superfície externa da chaminé é sujeita à radiação na área circundante a 27 °C e convecção no ar ambiente a 27 °C, com coeficiente médio de transferência de calor por convecção de 8   W / m 2 ⋅ K . A radiação solar incidente sobre a superfície externa da chaminé é de 150   W / m 2 , e a emissividade e absortividade solar da superfície externa são, ambas, 0,9. Assumindo a transferência de calor unidimensional em regime, (a) obtenha a variação de temperatura na parede da chaminé e (b) determine a temperatura da superfície interna da chaminé.

Passo 1

O nosso primeiro passo é fazer considerações para resolver o nosso problema. Sendo assim, temos um problema de regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica constante. Além disto, é importante destacarmos o fato de ser condução unidimensional. Isto é, não irá variar a temperatura de acordo com a altura da chaminé!

Então, para resolvermos a letra a) precisamos determinar a equação diferencial do nosso problema e as duas condições de contorno.

Portanto, devido as restrições do problema, temos a seguinte equação diferencial:

d d r r d T d r = 0

Já a condição de contorno que temos é na superfície interna da chaminé, a qual é dada por:

- k d T d r r = r 1 = q ˙ p e r d a = Q ˙ p e r d a A s 1 = Q ˙ p e r d a 2 π r 1 L

E só temos esta restrição. Como a nossa EDO é de segunda ordem, precisamos de duas restrições. E aí? Nosso primeiro trabalho é descobrirmos quem é essa segunda restrição (e calcularmos esse Q ˙ p e r d a .

Começando por Q ˙ p e r d a , ele é exatamente o calor cedido pela queda de temperatura dos gases de exaustão. Portanto,

Q ˙ p e r d a = m ˙ c p Δ T

Q ˙ p e r d a = 1,2 ⋅ 1600 ⋅ 30 = 57,6   k W

E agora, a nossa segunda condição de contorno? Ela será a temperatura no raio externo da chaminé. Para obtermos ela, será necessário fazermos um balanço de energia na chaminé, considerando os efeitos de condução, convecção e radiação! Sendo assim, temos:

C a l o r   q u e   e n t r a - C a l o r   q u e   s a i + C a l o r   g e r a d o = C a l o r   a c u m u l a d o

Q ˙ p e r d a + α ⋅ A s 2 ⋅ q ˙ s o l - h ⋅ A s 2 ⋅ T s 2 - T ∞ + ε ⋅ σ ⋅ A s 2 ⋅ T s 2 + 273   4 - T ∞ 4 = 0

Substituindo os valores, temos:

A s 2 = 2 π r 2 L = 2 π ⋅ 0,5 ⋅ 10 = 31,42   m 2

57,6 ⋅ 10 3 + 0,9 ⋅ 31,42 ⋅ 150 - 8 ⋅ 31,42 ⋅ T s 2 - 27 + 0,9 ⋅ 5,67 ⋅ 10 - 8 ⋅ 31,42 ⋅ T s 2 + 273   4 - 27 4 = 0

61,84 ⋅ 10 3 - 251,4 ⋅ T s 2 - 27 + 1,6 ⋅ 10 - 6 ⋅ T s 2 + 273   4 - 27 + 273 4 = 0

E então, o problema é resolver a equação acima. Não conseguimos resolver analiticamente, somente através de métodos numéricos ou plotando o gráfico da função. Resolvendo por qualquer um destes métodos, vamos obter que:

T ( r 2 ) T s 2 = 140   ° C

E esta é a nossa segunda condição de contorno!

Passo 2

Agora sim podemos partir para a nossa questão em si! Agora temos só a parte fácil.

Vamos começar resolvendo a EDO, portanto:

d d r r d T d r = 0

r d T d r = C 1

d T d r = C 1 r

T r = C 1 ln ⁡ r + C 2

Agora, temos que aplicar as condições de contorno para descobrirmos os valores das constantes. Logo,

- k d T d r r = r 1 = Q ˙ p e r d a 2 π r 1 L

- k ⋅ C 1 r 1 = Q ˙ p e r d a 2 π r 1 L

C 1 = - Q ˙ p e r d a 2 π k L = - 57,6 ⋅ 10 3 2 π ⋅ 40 ⋅ 10 = - 22,9   ° C

Já para a segunda condição de contorno, temos:

T r 2 = T 0,5 = - 22,9 ⋅ ln ⁡ 0,5 + C 2 = 140

C 2 = 124,1   ° C

Portanto, a distribuição de temperatura é:

T r = - 22,9 ⋅ ln ⁡ r + 124,1

Finalizando assim a letra a).

Passo 3

Já passamos pela parte mais difícil da questão. Agora, basta substituirmos

r = r 1 = r 2 - e = 0,5 - 0,1 = 0,4   m

Na distribuição de temperatura que obtivemos no final do Passo 2. Logo,

T 0,4 = - 22,9 ⋅ ln ⁡ 0,4 + 124,1 = 145   ° C

Finalizando aqui a questão!

Resposta

  1. A distribuição de temperaturas é:
  2. T r = - 22,9 ⋅ ln ⁡ r + 124,1

  3. A temperatura na superfície interna é:

T 0,4 = 145   ° C

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