Enunciado

Uma parede plana de espessura 2L = 50 mm e condutividade térmica constante k = 8   W / m ⋅ K gera calor uniformemente a uma taxa de e ˙ g e r . Sob condições permanentes, a distribuição de temperatura na parede tem a forma T x = a - b x 2 , onde a = 80   ° C e b = 2 ⋅ 10 4   C / m 2 , com x em metros. A origem da coordenada x encontra-se no ponto médio da parede.

  1. Determine as temperaturas das superfícies e esboce a distribuição de temperatura da parede.
  2. Qual é a taxa volumétrica de geração de calor e ˙ g e r ?
  3. Determine os fluxos de calor das superfícies q ˙ - L e q ˙ L .
  4. Qual é a relação entre esses fluxos, a taxa de geração de calor e a geometria da parede?

Passo 1

O nosso primeiro passo é fazer considerações para resolver o nosso problema. Sendo assim, temos um problema de regime permanente, com condução de calor unidimensional, geração de calor, condutividade térmica constante.

Nosso primeiro passo é determinarmos as temperaturas das superfícies e esboçar a distribuição de temperaturas da parede.

Como a função temperatura já nos foi dada, basta substituirmos os valores de x relativos as superfícies. Como a função está centrada no ponto médio da parede, então, as coordenadas x das superfícies são - L e L . Desta forma, temos:

T - L = T - 0,025 = 80 - 2 ⋅ 10 4 ⋅ - 0,025 2 = 67,5   ° C

T L = T 0,025 = 80 - 2 ⋅ 10 4 ⋅ 0,025 2 = 67,5   ° C

Portanto, ambas as superfícies possuem a mesma temperatura. Esboçando a distribuição de temperaturas, temos:

Passo 2

Agora, vamos determinar o termo de geração de calor e ˙ g e r . Para isto, precisamos relembrar qual é a EDO que representa a condução de calor no nosso sólido.

Devido a todas as condições discutidas no início do Passo 1, esta EDO é:

d 2 T d x 2 + e ˙ g e r k = 0

e ˙ g e r = - k d 2 T d x 2

E agora? O que devemos fazer??? Bom, percebam que nós já temos a função temperatura! Então, basta derivarmos ela duas, e assim obteremos o termo de geração! Logo,

e ˙ g e r = - k ⋅ - 2 b = 2 b k

e ˙ g e r = 2 ⋅ 2 ⋅ 10 4 ⋅ 8 = 3,2 ⋅ 10 5   W / m 3

E assim resolvemos a letra b).

Passo 3

Agora vamos calcular os fluxos de calor nas superfícies. Pela lei de Fourier, sabemos que o fluxo é dado por:

q ˙ x = - k d T d x

Portanto, na superfície x = - L , temos:

q ˙ - L = - k d T d x x = - L = - k - 2 b x x = - L

q ˙ - L = - 2 b k L = - 2 ⋅ 2 ⋅ 10 4 ⋅ 8 ⋅ 0,025 = - 8   k W / m 2

Já na superfície x = L , temos:

q ˙ L = - k d T d x x = L = - k - 2 b x x = L

q ˙ L = 2 b k L = 2 ⋅ 2 ⋅ 10 4 ⋅ 8 ⋅ 0,025 = 8   k W / m 2

E assim finalizamos a letra c).

Passo 4

Para finalizarmos a questão, basta escrevermos a relação entre os fluxos, o termo de geração de calor e a geometria do sólido.

E aí fica o questionamento: como encontramos esta relação? A resposta é mais simples do que parece. Basta fazermos um balanço de energia no sólido. Com isto, teremos:

E n e r g i a   q u e   s a i = E n e r g i a   g e r a d a

E ˙ s a i = E ˙ g e r

A energia que sai é o produto dos fluxos pelas áreas de superfície. Já a energia gerada é o produto de e ˙ g e r pelo volume do sólido. Portanto,

q ˙ - L + q ˙ L ⋅ A = e ˙ g e r ⋅ V

q ˙ - L + q ˙ L ⋅ A = e ˙ g e r ⋅ A ⋅ 2 L

q ˙ - L + q ˙ L = 2 L ⋅ e ˙ g e r

E assim encontramos a relação que a questão nos pede!

Resposta

  1. A temperatura das superfícies e a distribuição de temperaturas na parede são:
  2. T - L = T L = 67,5   ° C

  3. A taxa volumétrica de geração de calor é dada por:
  4. e ˙ g e r = 3,2 ⋅ 10 5   W / m 3

  5. Os fluxos de calor nas superfícies são:
  6. q ˙ - L = - 8   k W / m 2

    q ˙ L = 8   k W / m 2

  7. A relação entre os termos é:

q ˙ - L + q ˙ L = 2 L ⋅ e ˙ g e r

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