Enunciado

Glicerina a 15 °C escoa entre placas paralelas com espaçamento b = 2,5   m m entre elas. A placa superior move com velocidade U = 0,6   m / s no sentido positivo de x . O gradiente de pressão é ∂ p / ∂ x = - 1150   k P a / m . Localize o ponto de velocidade máxima e determine o seu módulo (faça y = 0 na placa inferior). Determine o volume de glicerina (m³) que passa por uma dada seção transversal (x = constante) em 10 s. Trace gráficos das distribuições de velocidade e de tensão de cisalhamento.

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer é escrever a equação para o perfil de velocidade nesse caso, que será dado pela equação 8.8 vista nessa seção do livro, então, teremos:

u y = U y b + b 2 2 μ d p d x y b 2 - y b

Então para obter a velocidade máxima, devemos derivar a expressão da velocidade e igualar ela a zero, então, teremos:

d u d y = U b + b 2 2 μ d p d x 2 y b 2 - 1 b = 0

- 2 μ U b 2 d p d x = 2 y b 2 - 1 b → 2 y b 2 = 1 b - 2 μ U b 2 d p d x

Então, a posição y em que isso ocorre será:

y = b 2 - μ U b d p d x

Então, para encontrar seu valor, devemos buscar o valor da viscosidade nas tabelas do apêndice A, então, para glicerina a 15 °C, temos:

μ = 4   N . s / m 2

Então, substituindo os valores conhecidos na equação acima, temos:

y = 0,0025 2 - 4 0,6 0,0025 - 1150.10 3 → y = 2,08 . 10 - 3   m

Passo 2

Dessa forma, a velocidade máxima então, será:

u 2,08 . 10 - 3 = U y b + b 2 2 μ d p d x y b 2 - y b

Substituindo os valores conhecidos, temos:

u 2,08 . 10 - 3 = 0,6 2,08 . 10 - 3 0,0025 + 0,0025 2 2 4 - 1150.10 3 2,08 . 10 - 3 0,0025 2 - 2,08 . 10 - 3 0,0025

u 2,08 . 10 - 3 = 0,4992 - 0,8984 375 - 0,139776

u 2,08 . 10 - 3 = 0,625   m / s

Passo 3

Agora, para encontrar o volume de glicerina que passa por uma dada seção transversal, vamos utilizar a equação da definição da vazão, dada por:

Q = ∫ V A = ∫ 0 b u w d y

Então, colocando no formato pedido no enunciado, para uma dada seção transversal, teremos:

Q w = ∫ 0 b u d y

Agora, substituindo a expressão para a velocidade, temos:

Q w = ∫ 0 b U y b + b 2 2 μ d p d x y b 2 - y b d y

Então, resolvendo essa integral, chegamos em:

Q w = U y 2 2 b + b 2 2 μ d p d x y 3 3 b 2 - y 2 2 b 0 b

Substituindo os limites de integração, temos:

Q w = U b 2 2 b + b 2 2 μ d p d x b 3 3 b 2 - b 2 2 b - 0

Q w = U b 2 + b 2 2 μ d p d x b 3 - b 2 = U b 2 + b 2 2 μ d p d x 2 b - 3 b 6

Q w = U b 2 - b 3 1 2 μ d p d x

Substituindo os valores conhecidos, teremos a vazão para uma seção transversal:

Q w = 0,6 0,0025 2 - 0,0025 3 12 4 - 1150.10 3 → Q w = 1,124.10 - 3   m 3 / s / m

Então, o volume que vai passar por essa seção em t = 10   s será dado por:

V = Q w t = 1,124.10 - 3 10 → V = 1,124.10 - 2   m 3 / m

Passo 4

Agora, vamos plotar o gráfico da distribuição de velocidade em função de y , então, com o auxílio da equação de velocidade do passo 1, descrita a seguir, temos:

u y = U y b + b 2 2 μ d p d x y b 2 - y b

E, agora, para a tensão de cisalhamento, temos:

τ = μ d u d y

Então, teremos:

τ = μ U b + b 2 2 d p d x 2 y b 2 - 1 b

E o gráfico dessa equação será:

Resposta

y = 2,08.10 - 3   m

u 2,08.10 - 3 = 0,625   m / s

V = 1,124.10 - 2   m 3 / m

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