Enunciado

O perfil de velocidade para escoamento completamente desenvolvido de tetracloreto de carbono a 15 °C entre placas paralelas (espaçamento a = 1,25   m m ), com a placa superior em movimento, é dado pela Eq. 8.8. Considere uma vazão volumétrica por unidade de 3,15.10 - 4   m 3 / s / m para gradiente de pressão zero. Encontre a velocidade U . Avalie a tensão de cisalhamento sobre a placa inferior. A vazão volumétrica aumentaria ou diminuiria com um ligeiro gradiente adverso de pressão? Calcule o gradiente de pressão que dará tensão de cisalhamento zero em y / a = 0,25 . Esboce a distribuição de tensão de cisalhamento para este caso.

Passo 1

Tá legal! A primeira coisa que devemos fazer é escrever a equação para o perfil de velocidade nesse caso, que será dado pela equação 8.8 vista nessa seção do livro, então, teremos:

u y = U y a + a 2 2 μ d p d x y a 2 - y a

Então, sabemos que a tensão de cisalhamento é dada por:

τ = μ d u d y

Então, precisamos derivar a expressão para a velocidade com relação à y , dessa forma, temos:

d u d y = U a + a 2 2 μ d p d x 2 y a 2 - 1 a

Então, a tensão de cisalhamento será:

τ = μ U a + a 2 2 d p d x 2 y a 2 - 1 a

Passo 2

Agora, para encontrar a vazão por unidade de profundidade na seção, vamos utilizar a definição de vazão, dada por:

Q = ∫ V A = ∫ 0 a u w d y

Então, colocando no formato pedido no enunciado, para uma dada seção transversal, teremos:

Q w = ∫ 0 a u d y

Agora, substituindo a expressão para a velocidade, temos:

Q w = ∫ 0 a U y a + a 2 2 μ d p d x y a 2 - y a d y

Então, resolvendo essa integral, chegamos em:

Q w = U y 2 2 a + a 2 2 μ d p d x y 3 3 a 2 - y 2 2 a 0 a

Substituindo os limites de integração, temos:

Q w = U a 2 2 a + a 2 2 μ d p d x a 3 3 a 2 - a 2 2 a - 0

Q w = U a 2 + a 2 2 μ d p d x a 3 - a 2 = U a 2 + a 2 2 μ d p d x 2 a - 3 a 6

Q w = U a 2 - a 3 12 μ d p d x

Então, para um gradiente de pressão zero, teremos:

Q w = U a 2 - 0

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

3,15.10 - 4 = U 0,00125 2 → U = 0,504   m / s

Passo 3

Agora vamos avaliar a tensão de cisalhamento do passo 1, substituindo o gradiente de pressão zero na equação, então, temos:

τ = μ U a

Então, agora, precisamos ir no apêndice A pegar o valor da viscosidade do tetracloreto de carbono, então, a 15 °C, temos:

μ = 1,1.10 - 3   N . s / m 2

Substituindo os valores conhecidos na equação para o cisalhamento, temos:

τ = 1,1.10 - 3 0,504 0,00125 → τ = 0,443   N / m 2

Nesse caso, um gradiente adverso de pressão faria com que a vazão volumétrica diminuísse.

Passo 4

Agora precisamos calcular o gradiente de pressão que dará tensão de cisalhamento zero em y / a = 0,25 . Dessa forma, da equação do cisalhamento descrita no passo 1, temos:

τ = μ U a + a 2 2 d p d x 2 y a 2 - 1 a

Substituindo os valores conhecidos e os valores de interesse, temos:

0 = 1,1.10 - 3 0,504 0,00125 + 0,00125 2 2 d p d x 2 0,25 ) ( 0,00125 0,00125 2 - 1 0,00125

0 = 0,44352 + 7,8125.10 - 7 d p d x - 400 → d p d x = 1419,26   P a / m

Então, para esse gradiente de pressão, com o auxílio da equação de velocidade a seguir, o gráfico para a velocidade será:

u y = U y a + a 2 2 μ d p d x y a 2 - y a

E a tensão de cisalhamento nessas condições será:

τ = μ U a + a 2 2 d p d x 2 y a 2 - 1 a

Resposta

U = 0,504   m / s

τ = 0,443   N / m 2

d p d x = 1419,26   P a / m

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