Enunciado

Um grande tanque de água aberto tem conectado à sua base um tubo horizontal de ferro fundido, de diâmetro D = 2,5 cm e de comprimento L = 1,5 m, usado para drenar a água do tanque. Se a profundidade da água é h = 3,5 m, encontre a vazão m 3 h se a entrada do tubo é (a) reentrante; (b) de borda-viva e (c) arredondada (r =3,75 mm).

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem ?

Para a avaliação da profundidade, diferença de pressão e/ou perda de carga, sempre necessitaremos lembrar da equação da perda de carga:

P 1 ρ ∙ g +   α ∙ V 1 2 2 g + z 1 =   P 2 ρ ∙ g +   α ∙ V 2 2 2 g + z 2   +   h p

Consideremos α = 1 ;

V 1 = 0   ( g r a n d e   t a n q u e )

As perdas de carga serão representadas pela eq da perda de carga e eq perda de carga menor, então:

h p = f L V ² 2 g D + K e n t V 2 2 g

Passo 2

Do problema, temos:

  D = 2,5 c m   |   h = 3,5   m   ρ = 998   k g m 3   ν = 1,01 * 10 - 6 N s m   L = 1,5 m     r = 3,75 m m |    

e = 0,26 m m   T a b e l a   8.1 |      

Obs: propriedades da água à 20 0 C , Tabela A.8 .

Portanto, a equação de energia simplificada se torna:

z 1 - V 2 2 g = f L V ² 2 g D +   K e n t V ² 2 g

Isolando a velocidade V:

V = 2 g h f L D + K e n t + 1       ( 1 )

Sabe-se também que o Re é dado por:

R e = ρ V D μ     ( 2 )

E que:

1 f = - 2 ∙ log ⁡ e D 3,7 + 2,51 R e ∙ f     ( 3 )

Passo 3

Então, as equações 1, 2 e 3 formam um conjunto de equações simultâneas para V ,   R e   e   f , nas quais podemos resolver iterativamente (por meio do excel, ou outra ferramenta computacional):

  1. Entrada do tubo reentrante:   K e n t = 0,78   ( T a b e l a   8.2 )
    1. Primeiro, fazendo uma primeira suposição para o valor de f:
    2. f = 0,01

      Então, pela iteração:

      V = 5,37   m / s                       e                       R e = 1,33 * 10 5    

    3. Utilizando o mesmo valor do Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f = 0,0389
    4. Repetindo a iteração:

      V = 4,09   m / s                       e                       R e = 1,01 * 10 5    

    5. Novamente, utilizando o mesmo valor do novo Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f = 0,039
    6. Repetindo a iteração:

      V = 4,08   m s                     e                       R e = 1,01 * 10 5    

    7. Novamente, utilizando o mesmo valor do novo Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f = 0,039
    8. Repetindo a iteração:

      V = 4,08   m s                     e                       R e = 1,01 * 10 5    

      Então, pode-se perceber que há tendência à convergência a partir desse instante.

      Nesse caso, a vazão pode ser calculada:

      Q = π D 2 V 4 = π * 0,025 2 * 4,08 4                   →                           Q = 2 * 10 - 3   m ³ / s                

      Em m 3 h :

      Q = 5,57 * 10 - 7 m 3 h

      Passo 4

      Então, as equações 1, 2 e 3 formam um conjunto de equações simultâneas para V ,   R e   e   f , nas quais podemos resolver iterativamente (por meio do excel, ou outra ferramenta computacional):

    9. Entrada do tubo borda-viva :   K e n t = 0,5   ( T a b e l a   8.2 )
    10. Primeiro, fazendo uma primeira suposição para o valor de f:
    11. f = 0,01

      Então, pela iteração:

      V = 5,72 m / s                       e                       R e = 1,42 * 10 5    

    12. Utilizando o mesmo valor do Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f = 0,039
    13. Repetindo a iteração:

      V = 4,23   m / s                       e                       R e = 1,05 * 10 5    

    14. Novamente, utilizando o mesmo valor do novo Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f = 0,039
    15. Repetindo a iteração:

      V = 4,23   m s                     e                       R e = 1,05 * 10 5    

      Então, pode-se perceber que há tendência à convergência a partir desse instante.

      Nesse caso, a vazão pode ser calculada:

      Q = π D 2 V 4 = π * 0,025 2 * 4,23 4                   →                           Q = 2,08 * 10 - 3   m ³ / s                

      Em m 3 h :

      Q = 5,77 * 10 - 7 m 3 h

      Passo 5

      Então, as equações 1, 2 e 3 formam um conjunto de equações simultâneas para V ,   R e   e   f , nas quais podemos resolver iterativamente (por meio do excel, ou outra ferramenta computacional):

    16. Entrada arredondada :   r D = 0,15   |   K e n t = 0,04   ( T a b e l a   8.2 )

  2. Primeiro, fazendo uma primeira suposição para o valor de f:
  3. f = 0,01

    Então, pela iteração:

    V = 6,47   m / s                       e                       R e = 1,6 * 10 5    

  4. Utilizando o mesmo valor do Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f = 0,038
  5. Repetindo a iteração:

    V = 4,51   m / s                       e                       R e = 1,12 * 10 5    

  6. Novamente, utilizando o mesmo valor do novo Re encontrado, resolve-se a equação 3 e encontramos o valor de f = 0,039

Repetindo a iteração:

V = 4,51   m s                     e                       R e = 1,12 * 10 5    

Então, pode-se perceber que há tendência à convergência a partir desse instante.

Nesse caso, a vazão pode ser calculada:

Q = π D 2 V 4 = π * 0,025 2 * 4,51 4                   →                           Q = 2,22 * 10 - 3   m ³ / s                

Em m 3 h :

Q = 6,16 * 10 - 7 m 3 h

Resposta

  1. Reentrante: Q = 5,57 * 10 - 7 m 3 h
  2. Borda-viva: Q = 5,77 * 10 - 7 m 3 h  
  3. Arredondado: Q = 6,16 * 10 - 7 m 3 h
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