Enunciado

Dois tubos de ferro galvanizado de diâmetro D estão conectados a um grande reservatório de água conforme mostrado. O tubo A tem comprimento L e o tubo B tem comprimento 2L. Ambos os tubos descarregam para a atmosfera. Por qual tubo passará a maior vazão? Justifique (sem calcular a vazão em cada tubo). Calcule as vazões se H = 10 m, D = 50 mm e L = 10 m.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem ?

Para a avaliação da profundidade, diferença de pressão e/ou perda de carga, sempre necessitaremos lembrar da equação da perda de carga:

P 1 ρ ∙ g +   α ∙ V 1 2 2 g + z 1 =   P 2 ρ ∙ g +   α ∙ V 2 2 2 g + z 2   +   h p

Consideremos α = 1 ;

V 1 = 0   ( r e s e r v a t ó r i o   e l e v a d o )     e     V 2   = V ;

P 1 = P 2 = P a t m

As perdas de carga serão representadas pela eq da perda de carga maior, e a eq perda de carga menor:

h p = f L V ² 2 g D + K e n t V 2 2 g

Passo 2

Do problema, temos:

D = 0,05 m   |   H = 10   m   ρ = 999   k g m 3   μ = 1,01 * 10 - 3 N s m     L = 10   m      

e = 0,15 m m   ( T a b e l a   8.1 )       K e n t = 0,5   ( T a b e l a   8.2 )  

Obs: propriedades da água à 15 0 C , Tabela A.8 .

Façamos a análise do primeiro tubo: Assim, a equação da energia, de forma simplificada, fica:

V = 2 g H f L D + K e n t + 1       ( 1 )

Sabe-se também que o Re é dado por:

R e = ρ V D μ     ( 2 )

E que:

1 f = - 2 ∙ log ⁡ e D 3,7 + 2,51 R e ∙ f     ( 3 )

Passo 3

Então, as equações 1, 2 e 3 formam um conjunto de equações simultâneas para V ,   R e   e   f , nas quais podemos resolver iterativamente (por meio do excel, ou outra ferramenta computacional):

  1. Primeiro, fazendo uma primeira suposição para o valor de V:
  2. V = 1   m / s

    Então, pela iteração:

    R e = 5 * 10 4         e     f = 0,0286  

  3. Utilizando o mesmo valor do fator de atrito encontrado, resolve-se a equação 1 e encontramos o valor de V = 5,21   m / s .
  4. Repetindo a iteração:

    R e = 2,61 * 10 5         e     f = 0,0267

  5. Novamente, utilizando o mesmo valor do novo fator de atrito encontrado, resolve-se a equação 1 e encontramos o valor de V = 5,36   m / s .

Repetindo a iteração:

R e = 2,68 * 10 5         e     f = 0,0267

E novamente encontra-se o valor de V = 5,36   m / s .

Então, pode-se perceber que há tendência à convergência a partir desse instante.

Portanto, a vazão pode ser calculada:

Q = π D 2 V 4 = π * 0,05 2 * 5,36 4                   →                           Q = 0,0105   m 3 / s                

Passo 4

Agora, façamos a análise do segundo tubo. Ao invés de usarmos o comprimento L, utilizaremos 2L:

V = 2 g H f 2 L D + K e n t + 1

Então, as equações 1, 2 e 3 formam um conjunto de equações simultâneas para V ,   R e   e   f , nas quais podemos resolver iterativamente (por meio do excel, ou outra ferramenta computacional):

  1. Primeiro, fazendo uma primeira suposição para o valor de V:
  2. V = 1   m / s

    Então, pela iteração:

    R e = 5 * 10 4         e     f = 0,0286  

  3. Utilizando o mesmo valor do fator de atrito encontrado, resolve-se a equação 1 e encontramos o valor de V = 3,89   m / s .
  4. Repetindo a iteração:

    R e = 1,95 * 10 5         e     f = 0,0269

  5. Novamente, utilizando o mesmo valor do novo fator de atrito encontrado, resolve-se a equação 1 e encontramos o valor de V = 4 m / s .

Repetindo a iteração:

R e = 2 * 10 5         e     f = 0,0268

E novamente encontra-se o valor de V = 4   m / s .

Então, pode-se perceber que há tendência à convergência a partir desse instante.

Portanto, a vazão pode ser calculada:

Q = π D 2 V 4 = π * 0,05 2 * 4 4                   →                           Q = 0,0078   m 3 / s                

Resposta

Como esperado, o fluxo é consideravelmente menor no tubo mais longo.

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