Enunciado

Um grupo de 25 transistores de potência, que dissipa 1,5 W cada, é resfriado e fixado em uma placa quadrada de alumínio anodizada de preto montada numa sala a 30°C. A emissividade das superfícies do transistor e da placa é 0,9. Considerando que a transferência de calor no verso da placa é desprezível e que a temperatura das superfícies em torno é a mesma que a temperatura do ar na sala, determine o tamanho da placa, sendo que a temperatura média da superfície da placa não deve exceder 50°C. Considere que a placa deve estar posicionada horizontalmente com:

(a) os transistores voltados para cima;

(b) os transistores voltados para baixo.

Passo 1

Nossa situação é a seguinte: temos uma placa quadrada de lado L em posição horizontal e ela tem 25 transistores. Cada um deles dissipa 1,5 W de potência. Sabemos que o sistema tem emissividade ε = 0,9, que a temperatura do ar é T ∞ = 30°C e que a temperatura da superfície deve ser T s ≤ 50°C.

O problema pede para considerar que o ar em torno da placa tem a temperatura do ambiente, ou seja, 30°C. Então, para o problema devemos considerar as propriedades do ar em 30°C. Vamos considerar que a energia é dissipada por convecção natural e radiação.

Então, vamos proceder da seguinte forma: calcular a potência total dissipada pelos 25 transistores; esquematizar as taxas de transferência por cada mecanismo e deixar em função da área da placa; igualar a soma das taxas de convecção e radiação e, assim, encontrar a área da placa. Tudo bem?

Passo 2

(a) Transistores voltados para cima:

Cada transistor dissipa 1,5 W e temos 25 transistores. Então:

P o t   d i s s i p a d a = 25   x   1,5  

P o t   d i s s i p a d a = 37,5   W

Vamos agora encontrar a dissipação por convecção natural. Para isso, precisamos das propriedades do ar na temperatura de 30°C. Nesta temperatura as propriedades do ar são:

ϑ = 1,608 x 10 - 5   m 2 / s

α = 2,208 x 10 - 5   m 2 / s

P r = 0,7282

k = 0,02588   W / m . K

Queremos determinar a taxa de transferência de calor por convecção natural. Ela pode ser calculada por:

q ˙ c o n v = h A ( T s - T ∞ )

Sabemos a diferença de temperatura, mas temos como incógnita a área da placa e o coeficiente convectivo. Por enquanto, vamos deixar a taxa em função da área e focar apenas no coeficiente. Uma das maneiras de encontrá-lo é utilizando a correlação de Nusselt para uma placa horizontal de superfície superior quente:

N u = h A p k = 0 , 5 4 R a 1 / 4

Em que A é a área da placa e p é seu perímetro.

Precisamos dos adimensionais R a e P r . Já temos o número de Prandtl da tabela de propriedades do ar. Vamos para o número de Rayleigh:

R a = g β T s - T ∞ L c 3 ϑ 2 P r  

R a = 9,81 x 1 303 x 50 - 30 x A / p 3 1,608 x 10 - 5 2 x 0,7282

R a = 1,82 x 10 9   L 2 4 L 3

R a = 2,85   x 10 7 x L 3

Já temos todas as variáveis necessárias para o número de Nusselt. Então vamos calcular h :

h L c k = 0,54 R a 1 / 4

h = k L c 0,54 R a 1 / 4

h = 0,02588 L x 0 , 54 x ( 2,85   x 10 7 x L 3 ) 1 / 4

h = 1,021 x L 3 4 L

h = 1,021 x L - 1 / 4   W / m 2 . K

Substituindo estes valores na equação da taxa de transferência:

q ˙ c o n v = h A ( T s - T ∞ )

q ˙ c o n v = 1,021 x L - 1 / 4 x L 2 x ( 50 - 30 )

q ˙ c o n v = 20 , 421 x L 7 / 4   W

Iremos agora para o cálculo da perda de energia por radiação.

q ˙ r a d = ε σ A ( T s 4 - T ∞ 4 )

q ˙ r a d = 0,9 x 5,67 x 10 - 8 x L 2 x ( 323 4 - 303 4 )

q ˙ r a d = 125,238 x L 2   W

Portanto:

P o t   d i s s i p a d a = q ˙ c o n v + q ˙ r a d

37,5 = 125,238 x L 2 + 20,421 x L 7 / 4

L = 0 , 5   m = 50   c m

Então, se os transistores estiverem voltados para cima a área da placa deve ser 50 cm x 50 cm.

Passo 3

(b) Transistores voltados para baixo:

Vamos seguir o mesmo princípio do exercício (a), porém mudando a correlação de Nusselt para a superfície inferior de uma placa quente. Para este caso:

N u = h A p k = 0,27 R a 1 / 4

Em que A é a área da placa e p é seu perímetro.

Já temos o número de Prandtl da tabela de propriedades do ar. Vamos então para o número de Rayleigh:

R a = g β T s - T ∞ L c 3 ϑ 2 P r  

R a = 9,81 x 1 303 x 50 - 30 x A / p 3 1,608 x 10 - 5 2 x 0,7282

R a = 1,82 x 10 9   L 2 4 L 3

R a = 2,85   x 10 7 x L 3

Já temos todas as variáveis necessárias para o número de Nusselt. Então vamos calcular h :

h L c k = 0 , 27 R a 1 / 4

h = k L c 0 , 27 R a 1 / 4

h = 0,02588 L x 0 , 27 x ( 2,85   x 10 7 x L 3 ) 1 / 4

h = 0,5 1 x L 3 4 L

h = 0,5 1 x L - 1 / 4   W / m 2 . K

Substituindo estes valores na equação da taxa de transferência:

q ˙ c o n v = h A ( T s - T ∞ )

q ˙ c o n v = 0 , 5 1 x L - 1 / 4 x L 2 x ( 50 - 30 )

q ˙ c o n v = 1 0 , 305 x L 7 / 4   W

Iremos agora para o cálculo da perda de energia por radiação.

q ˙ r a d = ε σ A ( T s 4 - T ∞ 4 )

q ˙ r a d = 0,9 x 5,67 x 10 - 8 x L 2 x ( 323 4 - 303 4 )

q ˙ r a d = 125,238 x L 2   W

Portanto:

P o t   d i s s i p a d a = q ˙ c o n v + q ˙ r a d

37,5 = 125,238 x L 2 + 10,305 x L 7 / 4

L = 0,5 2   m = 52   c m

Então, se os transistores estiverem voltados para baixo a área da placa deve ser 52 cm x 52 cm.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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