Enunciado

A hélice de um barco de propulsão a ar, usado no parque nacional de Everglades, na Flórida, movimenta ar à taxa de 50 kg/s. Quando em repouso, a velocidade da corrente de ar atrás da hélice é de 45 m/s em um local onde a pressão é atmosférica. Calcule (a) o diâmetro da hélice, (b) o empuxo produzido em repouso e (c) o empuxo produzido quando o barco move para a frente a 15 m/s, se a vazão mássica através da hélice permanece constante.

Passo 1

Tá legal! Vamos começar o exercício ilustrando o problema, conforme vimos nessa seção do livro, então, temos:

Então, a partir da equação do equilíbrio de momento na direção x apresentado no capítulo 4, temos:

F x = F S x + F B x = ∂ ∂ t ∫ V C   u ρ d V + ∫ S C   u ρ V → . d A →

Então, para o sistema de controle desenhado, onde podemos desprezar as forças de campo na direção x , ou seja, F B x = 0 , e temos regime permanente, então podemos zerar a derivada parcial no tempo, temos:

T = u 1 - ρ V 1 A 1 + u 4 ρ V 4 A 4

No entanto, devido a continuidade do sistema, sabemos que a vazão mássica é constante, então, temos:

ρ V A = ρ V 1 A 1 = ρ V 2 A 2 = ρ V 3 A 3 = ρ V 4 A 4 = m ˙

Então, substituindo isso na equação anterior, temos:

T = - V 1 m ˙ + V 4 m ˙

Então, considerando o caso onde o barco está em repouso, temos V 1 = 0 , e então:

T = - 0 + 45 50 → T = 2250   N

Essa é a resposta da letra b)

Passo 2

Para resolver a letra a), vamos recorrer à relação vista no exemplo 10.13 dessa seção, então:

V = 1 2 ( V 4 + V 1 )

E, para o caso onde o barco está em repouso com V 1 = 0 , temos:

V = 1 2 45 + 0 → V = 22,5   m / s

Então, da equação da continuidade escrita no passo 1, temos:

m ˙ = ρ V A = ρ V π D 2 4

Substituindo os valores conhecidos, podemos encontrar o diâmetro da hélice:

50 = 1,23 22,5 π D 2 4 → D = 1,52   m

Passo 3

Agora para resolver a letra c), precisamos retornar à equação da velocidade descrita no passo 2:

V = 1 2 V 1 + V 4 → V 4 = 2 V - V 1

Substituindo os valores conhecidos, temos:

V 4 = 2 22,5 - 15 → V 4 = 30   m / s

E, agora, usando a equação para o empuxo encontrada no passo 1, temos:

T = - V 1 m ˙ + V 4 m ˙ = - 15 50 + 30 50 → T = 750   N

Passo 4

Agora, para analisar se a vazão mássica através da hélice permanece constante, basta olhar para a equação da vazão mássica usada no passo 2:

m ˙ = ρ V A = ρ V π D 2 4

Nesse caso, a vazão mássica depende da densidade do fluido, que obviamente não mudou de um caso para o outro, do diâmetro da hélice, que também não mudou e da velocidade no ponto V, que conforme vimos, permanece constante. E isso faz sentido, devido à continuidade do sistema.

Resposta

D = 1,52   m

T = 2250   N

T = 750   N

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

The pump of Prob. P11.35 has a maximum efficiency of88percent at 8000 gal/min. (a) Can we use this pump, atthe same diameter but a different speed, to generate a BEPhead of 150 ft and a BEP fl ow rate
A Pelton wheel of 12-ft pitch diameter operates under a nethead of 2000 ft. Estimate the speed, power output, and flowrate for best effi ciency if the nozzle exit diameter is 4 in
The data of Prob. P11.31 correspond to a pump speed of1200 r/min. (Were you able to solve Prob. P11.31 withoutthis knowledge?) (a) Estimate the diameter of the impeller.[Hint: See Prob. P11.24 for a c
Figure P11.4 shows the impeller on a common devicewhich, when operating, turns at up to 300,000 r/min. Canyou guess what it is and offer a description?
A piston PDP has a 5-in diameter and a 2-in stroke andoperates at 750 r/min with 92 percent volumetric efficiency.(a) What is its delivery, in gal/min? (b) If the pump deliversSAE 10W oil at 208C agai