Enunciado

O impulsor de uma bomba centrífuga tem diâmetros interno e externo de 13 cm e 30 cm, respectivamente e uma taxa de escoamento de 0,15 m³/s a uma velocidade rotacional de 1200

rpm. A largura da pá do impulsor é 8 cm na entrada e 3,5 cm na saída. Se a água entra no impulsor na direção radial e sai a um ângulo de 60° da direção radial, determine o requisito mínimo de potência da bomba.

Passo 1

Bora começar, galerinha!

A questão ta pedindo a potência mímima, então oq a gente tem que calucular é esse carinha aqui ó:

W ˙ = ω T e i x o

Vamos dar uma olhadinha no esquema, porque sempre ajuda:

Mas como a gente chega lá!? Bora lá!

Primeiro de tudo, a região do impelidor vai ser nosso volume de controle, ok?! Então podemos calcular as velocidades normais de entrada, V 1 , n , e de saída V 2 , n :

V 1 , n = V ˙ 2 π r 1 b 1

V 2 , n = V ˙ 2 π r 2 b 2

Sabendo essas velocidades a gente vai ser capaz de calcular as velocidades tangenciais de acordo com essa relação aqui:

V 1 , t = V 1 , n tan ⁡ α 1

V 2 , t = V 2 , n tan ⁡ α 2

Para isso precisamos só conhecer esse α 1 e α 2 !! Tão vendo essa linha verde na imagem? Essa vai ser a nossa normal, α 1   vai ser o ângulo entre a velocidade e a normal, logo é só olhar a imagem e ver que a velocidade ta juntinho com a normal, então:

α 1 = 0

Já para V → 2 :

α 2 = 60 °

Sabendo as velocidades tangenciais, a gente pode ir pro próximo passo!

Agora a gente vai atrás da velocidade angular ω :

ω = 2 π n ˙

Agora a vazão mássica:

m ˙ = ρ V ˙

Com isso podemos achar T e i x o pra finalmente substituir na fórmula de potência!!

T e i x o = m ˙ ( r 2 V t 2 - r 1 V t 1 )

W ˙ = ω T e i x o

Então vamos colocar a mão na massa pra calcular essa galera ai!

Passo 2

Primeiro as velocidades normais V 1 , n e V 2 , n :

V 1 , n = 0,15 2 π ( 0,13 2 ) ( 0,080 ) = 3,63   m / s

V 2 , n = 0,15 2 π ( 0,30 2 ) ( 0,035 ) = 4,51   m / s

Agora vamos achar as velocidades tangenciais :

V 1 , t = V 1 , n tan ⁡ 0 = 0

V 2 , t = 4,51   × tan ⁡ 60 ° = 7,80   m / s

A velocidade angular:

ω = 2 π × 1200   r p m × 1   m i n 60   s = 125,7   r a d / s

Repaparam na troca de rpm para rotações por segundo? Bastante atenção nas unidades!!

Precisamos da vazão mássica para acharmos o torque:

m ˙ = 1000 × 0,15 = 150 k g s

Agora podemos calcular o torque do eixo:

T e i x o = 150 0,15 × 7,80 - 0 = 17 5,5   k N ∙ m

E por fim, tcharaaam, o W ˙   !

W ˙ = 125,7 × 17 5,5   = 22,05   k W

Resposta

A potência mínima da bomba é 22 , 05   k W .

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