Enunciado

Considere um ventilador centrífugo que tem raio de 20 cm e lâmina com largura de 8,2 cm na entrada do impulsor, e um raio de 45 cm e uma pá com largura de 5,6 cm na saída. O ventilador fornece ar a uma taxa de 0,70 m³/s a velocidade rotacional de 700 rpm. Considerando que o ar entra no impulsor na direção radial e sai com um ângulo de 50° na direção radial, determine o consumo mínimo de potência do ventilador. Tome a densidade do

ar como 1,25 kg/m³

Passo 1

Bora começar, galerinha!

A questão ta pedindo o consumo mínimo, então o que a gente tem que calucular é esse carinha aqui ó:

W ˙ = ω T e i x o

Vamos dar uma olhadinha no esquema, porque sempre ajuda:

Mas como a gente chega lá!? Bora lá!

Primeiro de tudo, a região do impelidor vai ser nosso volume de controle, ok?! Então podemos calcular as velocidades normais de entrada, V 1 , n , e de saída V 2 , n :

V 1 , n = V ˙ 2 π r 1 b 1

V 2 , n = V ˙ 2 π r 2 b 2

Sabendo essas velocidades a gente vai ser capaz de calcular as velocidades tangenciais de acordo com essa relação aqui:

V 1 , t = V 1 , n tan ⁡ α 1

V 2 , t = V 2 , n tan ⁡ α 2

Para isso precisamos só conhecer esse α 1 e α 2 !! Tão vendo essa linha verde na imagem? Essa vai ser a nossa normal, α 1   vai ser o ângulo entre a velocidade e a normal, logo é só olhar a imagem e ver que a velocidade ta juntinho com a normal, então:

α 1 = 0

Já para V → 2 :

α 2 = 50 °

Sabendo as velocidades tangenciais, a gente pode ir pro próximo passo!

Agora a gente vai atrás da velocidade angular ω :

ω = 2 π n ˙

Agora a vazão mássica:

m ˙ = ρ V ˙

Com isso podemos achar T e i x o pra finalmente substituir na fórmula de potência!!

T e i x o = m ˙ ( r 2 V t 2 - r 1 V t 1 )

W ˙ = ω T e i x o

Então vamos colocar a mão na massa pra calcular essa galera ai!

Passo 2

Primeiro as velocidades normais V 1 , n e V 2 , n :

V 1 , n = 70 2 π ( 0,20 ) ( 0,082 ) = 6,793   m / s

V 2 , n = 70 2 π ( 0,45 ) ( 0,056 ) = 4,421   m / s

Agora vamos achar as velocidades tangenciais :

V 1 , t = V 1 , n tan ⁡ 0 = 0

V 2 , t = 4,421 × tan ⁡ 50 ° = 5,269   m / s

A velocidade angular:

ω = 2 π   700   r p m × 1   m i n 60   s = 73,30   r a d / s

Repaparam na troca de rpm para rotações por segundo?Bastante atenção nas unidades!!

Precisamos da vazão mássica para....

m ˙ = 1,25 × 0,7 = 0,875 k g s

Agora podemos calcular o torque do eixo:

T e i x o = 0,875 0,45 × 5,268 - 0 = 2,075   N ∙ m

E por fim, tcharaaam, o W ˙   !

W ˙ = 73,30 × 2,075 = 152   W

Resposta

O consumo mínimo de potência do ventilador será igual a 152   W

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