Enunciado

Na instalação da figura, a água deve ser lançada por meio de um bocal no tanque da direita. Determinar a mínima potência da bomba para que isso aconteça. Dados: D = 10   c m ; material: ferro fundido; diâmetro de saída D s = 7,5   c m ; ν = 10 - 6   m 2 / s ; γ = 10 4   N / m 3 ; k s 1 = 0,5 ; η B = 0,75 . Desprezar a perda singular no bocal.

Passo 1

Antes de começar o exercício, devemos lembrar um pouquinho do movimento parabólico em queda livre e sem velocidade inicial na direção y , dessa forma, as equações para o deslocamento em x e y são:

x = v t → t = x v

y = g t 2 2

Substituindo a primeira relação na segunda, obtemos:

y = g 2 x v 2 → y = g x 2 2 v 2 → v = x g 2 y

Então, substituindo as medidas de distância da figura do enunciado, temos:

v = 15 10 2 15 → v = 8,66   m / s

Essa velocidade que encontramos é a velocidade de saída do bocal v s , agora, para encontrar a velocidade do escoamento dentro da tubulação, vamos usar a igualdade entre as vazões nesses dois pontos, então, temos:

Q = Q s

v A = v s A s → v π D 2 4 = v s π D s 2 4 → v = v s D s D 2

Substituindo os valores conhecidos:

v = 8,66 7,5 10 2 → v = 4,87   m / s

Passo 2

Agora vamos aplicar o equilíbrio de energia ao sistema entre os pontos 0 e o ponto de saída do bocal s :

H 0 + H B = H s + H p 0 , s

v 0 2 2 g + p 0 γ + z 0 + H B = v s 2 2 g + p s γ + z s + H p 0 , s

Como nesse casos temos perda distribuída e localizada, a equação se torna:

0 2 2 g + 0 γ + z 0 + H B = v s 2 2 g + 0 γ + 0 + h f + k s 1 v 2 2 g

H B = v s 2 2 g + h f + k s 1 v 2 2 g - z 0

Passo 3

Nós sabemos que a perda de carga distribuída é dada por:

h f = f L v 2 2 g D H

Como não temos o valor de f , devemos recorrer ao diagrama de Moody a seguir, para isso precisamos encontrar o valor de D H / k , nesse caso, como temos uma seção circular, então D H = D e a equação se torna (note que o valor de k para o ferro fundido se encontra no quadro dentro do diagrama de Moody):

D H k = 0,1 2,59 . 10 - 4 → D H k = 3 86

Agora vamos encontrar o valor de Reynolds para descobrir em que faixa de escoamento o exercício se encontra:

R e = v D H ν = 4,87 0,1 10 - 6 → R e = 4,9 . 10 5

Para esse valor de Reynolds, o escoamento é rugoso, que é a parcela onde as curvas D H / k possuem um valor constante (ocorrem para altos valores de R e ), dessa forma, para a relação D H / k encontrada, vamos adotar:

f = 0,02 6

Agora podemos retornar a equação da perda de carga distribuída:

h f = f L v 2 2 g D H = 0,02 6 15 0 4,87 2 2 10 0,1 → h f = 46,25   m

Passo 4

Agora vamos retornar à equação de equilíbrio de energia do passo 2:

H B = v s 2 2 g + h f + k s 1 v 2 2 g - z 0

Substituindo os valores conhecidos, temos:

H B = 8,66 2 2 10 + 46,25 + 0,5 4,87 2 2 10 - 15 → H B = 35,6   m

E, antes de calcular a potência da bomba, precisamos encontrar a vazão do sistema, faremos isso usando a velocidade dentro da tubulação antes do bocal encontrada lá no passo 1:

Q = v A = v π D 2 4 = 4,87 π 0,1 2 4 → Q = 0,038   m 3 / s

Agora podemos aplicar a equação da potência para a bomba, dada por:

N B = γ Q H B η B = 10 4 0,038 35,6 0,75 → N B = 18155,5   W

Resposta

N B = 18155,5   W

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