Enunciado

O líquido incompressível no grande tanque da Figura P3.180 está em repouso quando, em t = 0 , a válvula é aberta para a atmosfera. Admitindo h ≈ c o n s t a n t e (velocidades e acelerações desprezíveis dentro do tanque), use a equação de Bernoulli para escoamento não permanente e sem atrito para deduzir e resolver uma equação diferencial para V(t) no tubo.

Passo 1

Vamos começar aplicando Bernoulli em um ponto na superfície do tanque (ponto 1) e em um ponto na saída do tanque (ponto 2), este é um problema em regime transiente:

p 1 ρ + V 1 2 2 + g z 1 = p 2 ρ + V 2 2 2 + g z 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s

Os dois pontos possuem pressão igual a atmosférica, vamos utilizar o referencial z = 0 no ponto 2 e V 1 é aproximadamente zero pelo diâmetro do tanque.

p a t m ρ + g h = p a t m ρ + V 2 2 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s

g h = V 2 2 2 + ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s

O termo ∫ 1 2 ∂ V ∂ t d s pode ser aproximado para L d V d t , então:

g h = V 2 2 2 + L d V d t

2 L d V d t + V 2 2 = 2 g h

A solução desta integral de primeira ordem com V 0 = 0 e t 0 = 0 é:

V = 2 g h * tanh ⁡ 2 g h * t 2 L

Resposta

V = 2 g h * tanh ⁡ 2 g h * t 2 L

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