Enunciado

Um líquido incompressível, com massa específica igual a 900 kg/m3 e viscosidade desprezível, escoa em regime permanente através de um tubo horizontal de diâmetro constante. Em uma seção porosa de comprimento L = 2 m, líquido é removido a uma taxa variável ao longo do comprimento de tal forma que a velocidade uniforme axial no tubo é u ( x )   =   U e - x / L   , em que U = 20 m/s. Desenvolva expressões para a aceleração de uma partícula fluida ao longo da linha de centro da seção porosa e para o gradiente de pressão ao longo desta linha. Avalie a pressão de saída se a pressão na entrada da seção porosa for igual a 50 kPa (manométrica).

Passo 1

Pessoal, neste caso temos um escoamento em regime permanente apenas na direção x. Desta forma, para a aceleração podemos usar a equação 5.11a do livro:

a x = D u D t = u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z + ∂ u ∂ t

Como temos apenas escoamento na direção x e em regime permanente, a expressão simplifica para:

a x = u ∂ u ∂ x

Pelo enunciado, sabemos que a velocidade é dada pela expressão:

u ( x )   =   U e - x / L

Portanto, substituindo u na equação da aceleração, temos:

a x = U e - x / L d U e - x / L d x  

a x = U e - x / L - U e - x / L L

a x = - U 2 L e - 2 x / L

Passo 2

Com o mesmo raciocínio usado no item anterior, o gradiente de pressão na linha vai se resumir a direção x. Com isso, podemos usar a expressão 6.2a do livro para representar o gradiente:

ρ ∂ u ∂ t + u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y + w ∂ u ∂ z = p g x - ∂ p ∂ x

Como temos apenas escoamento na direção x e em regime permanente, a expressão simplifica para:

ρ u ∂ u ∂ x = - ∂ p ∂ x

Porém encontramos a seguinte relação no item anterior:

a x = u ∂ u ∂ x

Substituindo, temos:

ρ a x = - d p d x

ρ a x d x = - d p

ρ U 2 L e - 2 x / L d x = d p

Para encontrar a pressão basta integrar a expressão acima:

∫ 0 x ρ U 2 L e - 2 x / L d x = ∫ p 0 p d p

ρ U 2 L - L 2 e - 2 x L - 1 = p - p 0

p = p 0 - ρ U 2 2 e - 2 x L - 1

Passo 3

Nesta etapa vamos substituir os valores do enunciado na expressão acima para encontrar a pressão de saída (quando x=L):

L = 2 m ;               p 0 = 50 k P a ;             U = 20   m / s ;               ρ = 900 k g / m ³

p = p 0 - ρ U 2 2 e - 2 x L - 1

p = 50 - 0,9 20 2 2 e - x - 1

p = 50 - 180 e - 2 - 1

p = 50 - ( - 155,64 )

p = 205 , 6 4   k P a

Passo 4

Vamos traçar um gráfico do gradiente de pressão. Pela expressão encontrada no passo 2:

ρ U 2 L e - 2 x / L d x = d p

ρ U 2 L e - 2 x / L = d p d x

Substituindo os valores do enunciado, temos:

180 e - x = d p d x

Resposta

a x = - U 2 L e - 2 x / L

p = p 0 - ρ U 2 2 e - 2 x L - 1

p = 205,64   k P a

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