Enunciado

Um longo aquecedor na forma de bastão, com diâmetro D1 = 10 mm e emissividade ε1 = 1,0, encontra-se posicionado coaxialmente a um refletor semicilíndrico isolado termicamente com diâmetro D2 = 1 m. Um longo painel, com largura W = 1 m, está alinhado com o refletor e está separado do aquecedor por uma distância H = 1 m. O painel está revestido com uma tinta especial (ε3 = 0,7), que é curada pela sua manutenção a 400 K. O painel é isolado termicamente no seu lado posterior e todo o sistema está localizado no interior de uma grande sala onde as paredes e o ar atmosférico quiescente estão a 300 K. A transferência de calor por convecção pode ser desprezada na superfície do refletor.

  1. Esboce o circuito térmico equivalente ao sistema e identifique todas as resistências e potenciais pertinentes.
  2. Expressando os seus resultados em termos das variáveis apropriadas, escreva o sistema de equações necessário para determinar as temperaturas do aquecedor e do refletor, T1 e T2, respectivamente. Determine essas temperaturas para as condições especificadas.
  3. Determine a taxa na qual deve ser suprida potência elétrica, por unidade de comprimento, ao bastão aquecedor.

Passo 1

Falaaaaaa galerinha !!

Vamos seguindo?

Bom, a letra (a) nos pediu apenas para esquematizar todo o circuito elétrico, certo?

Então, dispondo todos os acontecimentos descritos no problema nós vamos obter:

Agora, a letra (b) nos pediu para achar T 1 e   T 2 !

Para isso nós podemos começar fazendo o balanço de energia para as superfícies 1, 2 e 3 olhando a figura acima:

q 1 - q c o n v , 1 = E b 1 - E b 2 1 A 1 F 12 + E b 1 - J 3 1 A 1 F 13 + E b 1 - E b 4 1 A 1 F 14

q 2 = 0 = E b 1 - E b 2 1 A 2 F 23 + J 3 - E b 1 1 A 2 F 23 + E b 4 - E b 2 1 A 2 F 24

q c o n v , 3 = J 3 - E b 3 1 - ε 3 ε 3 A 1 = E b 1 - J 3 1 A 3 F 31 + E b 2 - J 3 1 A 3 F 32 + E b 4 - J 3 1 A 3 F 34

Tá difícil, não é? Mas podemos começar pelo balanço da superfície 3!!

q c o n v , 3 = J 3 - E b 3 1 - ε 3 ε 3 A 3

Lembrando do calor convectivo e da potência emissiva:

h - 3 T 3 - T ∞ = J 3 - σ T 3 4 1 - ε 3 ε 3 A 3

Vamos ver o que temos:

σ = 5,67 × 10 - 8 W m 2 K 4

T 3 = 400   K

T 4 = 300   K

T ∞ = 100   K

ε 3 = 0,7

A 3 = 1   m × 1   m = 1   m 2

O coeficiente convectivo nós podemos calcular:

h - 3 = k L c 0,15 R a L 1 3

Lembrando que:

R a L = g β T 3 - T ∞ L c 2 a v

Neste caso:

L c = A s P = W L 2 L + 2 W = 1 2

Para achar as propriedades do ar nós precisamos da temperatura média:

T m = T 3 + T ∞ 2 = 400   K + 300   K 2 = 350   K

Assumindo que a temperatura seja próxima a 323     K e olhando na Tabela A – 4:

v = 20,92 × 10 - 6 m 2 s

k = 0,03 W m K

a = 29,9 × 10 - 6 m 2 s

P r = 0,7

β = 1 350   K

Substituindo:

R a L = 9,81 1 350 400 - 300 0,5 2 20,92 × 10 - 6 29,9 × 10 - 6 = 5,6 × 10 8

E para o coeficiente:

h 3 - = 0,03 0,5 0,15 5,6 × 10 8 1 3

h 3 - = 7,4 2 W m 2 K

Agora sim !! Vamos colocar na fórmula:

7,42 400 - 300 = J 3 - 5,67 × 10 - 7 400 4 1 - 0,7 0,7 × 1  

J 3 = 1769 W m 2

Também podemos achar a potência emissiva para a superfície 4:

E b , 4 = σ T 4 4

Substituindo:

E b , 4 = 5,67 × 10 - 7 300 4 = 459 W m 2

Passo 2

Agora nós queremos achar os fatores de forma!!

Pela simetria nós podemos concluir que:

F 12 = 0,5

F 13 = 2 θ 360 = 2 tan - 1 ⁡ W 2 H 360 = 2 tan - 1 ⁡ 1 2 × 1 360 = 0,148

Aplicando o somatório e a reciprocidade nós achamos mais algumas:

F 12 + F 13 + F 14 = 1     →     F 14 = 0,352

F 21 = A 1 A 2 F 12 = π D 1 w π D 2 w 2 F 12 = 2 D 1 D 2 F 12 = 2 × 0,01 1 0,5 = 0,01

F 31 = A 1 A 2 F 13 = π D 1 w D 2 w F 13 = π D 1 D 2 F 13 = π × 0,01 1 0,148 = 0,005

Para achar os demais nós vamos precisar chamar a superfície traçada sobre o diâmetro da superfície 2, passando sobre a superfície 1, que vamos chamar agora de 2’.

Neste caso, a superfície 3 e 2’ foram superfícies paralelas, olhando na figura:

Para:

X L = 1

Y L = ∞

Então:

F 32 ' = 0,42

Lembrando que:

F 32 ' = F 32 + F 31

Então:

F 23 = A 3 A 2 F 32 = D 2 w π D 2 w 2 ( F 32 ' + F 31 ) = 2 π ( 0,42 + 0,005 ) = 2 × 0,01 1 0 , 42 5 = 0 , 24

Para a superfície 2 e 2’:

F 22 + F 22 ' = 1    

Usando a reciprocidade:

F 22 ' = A 2 ' / A 2 F 2 ' 2 =   A 2 ' / A 2 = 2 π

Então:

F 22 = 1 - 2 π = 0,363

E o somatório para a superfície 2:

F 21 + F 22 + F 23 + F 24 = 1     →     F 24 = 0,363  

Já vimos que:

0,42 = F 32 + 0,005     →     F 32 = 0,415

E o somatório:

F 3 1 + F 32 + F 3 4 = 1     →     F 34 = 0,58

Ufaaa !!

Passo 3

Foi pesado, não é? Mas agora podemos colocar tudo isso na fórmula do balanço da superfície 3:

1769 - 1451 1 - 0,7 0,7 = E b 1 - 1769 1 0,005 + E b 2 - 1769 1 0,415 + 459 - 1769 1 0,58

0,005 . E b 1 - 0,415 E b 2 = 245                             ( 1 )

Agora, se usarmos no balanço da superfície 2:

0 = E b 1 - E b 2 1 0,01 + 1769 - E b 1 1 0,264 + 459 - - E b 2 1 0,363

0,0 1 . E b 1 - 0,637 E b 2 + 633,6 = 0                             ( 2 )

Resolvendo as duas equações:

E b 1 = 159322 W m 2

E b 2 = 3496 W m 2

E usando a fórmula das potências emissivas:

E b 1 = σ T 1 4

E b 2 = σ T 2 4

Substituindo:

159322 = 5,67 × 10 - 8 T 1 4         →     T 1 =   1294,7   K

3496 = 5,67 × 10 - 8 T 2 4             →     T 2 =   498,3   K

Passo 4

Maaasss, nós não acabamos !!

Queremos, na letra (c), determine a taxa na qual deve ser suprida de potência elétrica, por unidade de comprimento, ao bastão aquecedor!

Neste caso nós precisamos achar q 1 lá no balanço do passo 1:

q 1 - q c o n v , 1 = E b 1 - E b 2 1 A 1 F 12 + E b 1 - J 3 1 A 1 F 13 + E b 1 - E b 4 1 A 1 F 14

Reorganizando pra gerar o que queremos, q ' 1 :

q 1 - q c o n v , 1 A 1 = F 12 E b 1 - E b 2 + F 13 E b 1 - J 3 + F 14 E b 1 - E b 4

q " 1 - q " c o n v , 1 = F 12 E b 1 - E b 2 + F 13 E b 1 - J 3 + F 14 E b 1 - E b 4

Só que também não é o que queremos:

q ' 1 = π D 1 q " 1         →       q " 1 = q ' 1 π D 1

Substituindo:

q ' 1 π D 1 = q " c o n v , 1 + F 12 E b 1 - E b 2 + F 13 E b 1 - J 3 + F 14 E b 1 - E b 4

q ' 1 = π D 1 q " c o n v , 1 + F 12 E b 1 - E b 2 + F 13 E b 1 - J 3 + F 14 E b 1 - E b 4

Nós ainda temos o calor convectivo, mas nós podemos achar:

q " c o n v , 1 = h 1 - T 1 - T ∞

Para o coeficiente é convectivo precisamos começar achando R a L :

R a D = g β T 1 - T ∞ D 1 2 a v

Para achar as propriedades do ar nós precisamos da temperatura média:

T m = T 1 + T ∞ 2 = 1295   K + 300   K 2 ≅ 800   K

Assumindo que a temperatura seja próxima a 800     K e olhando na Tabela A – 4:

v = 84,9 × 10 - 6 m 2 s

k = 0,0 573 W m K

a = 120 × 10 - 6 m 2 s

β = 1 800   K

Substituindo:

R a D = 9,81 1 800 1295 - 300 0 , 01 2 84,9 × 10 - 6 120 × 10 - 6 = 1196

E para o coeficiente:

h - 1 = k D 1 0,8 5 R a D 0,188

Substituindo:

h 1 - = 0,0573 0,01 0,85 1196 0,188

h 1 - = 18,5 W m 2 K

Então já conseguimos calcular a convecção:

q " c o n v , 1 = 18,5 1295 - 300 = 18407,5 W m 2

Colocando na fórmula para achar o que queremos:

q ' 1 = π 0,01 18407,5 + 0,5 159322 - 3496 + 0,148 159322 - 1769 + 0,3552 159322 - 459

q ' 1 = 8004,4 W m

Ufaaaa!! Deu um trabalhão, mas conseguimos !!

Resposta

  1. T 1 =   1294,7   K     |     T 2 =   498,3   K ;
  2. q ' 1 = 8004,4 W m .
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um forno cúbico, com 2m de lado, é usado para tratar termicamente uma placa de aço. A superfície superior do forno é formada por aquecedores elétricos radiantes que têm uma emissividade de 0,85 e são
Silício sólido puro é produzido a partir de material fundido, como por exemplo, no Problema 1.37. Silício sólido é semitransparente e a distribuição do coeficiente de absorção espectral para o silício
Considere um forno circular que tem 0,5m de comprimento e 0,5m de diâmetro. As duas extremidades têm superfícies cinzas e difusas, que são mantidas a 400 e 500K , com emissividades de 0,4 e 0,5 , resp
Um forno que tem uma cavidade esférica com 0,4m de diâmetro contém uma mistura gasosa a 1a t m e 1400K . A mistura é formada por C O 2 , com uma pressão parcial de 0,25a t m , e nitrogênio com uma pre
Uma liga de alumínio fundida a 950K é despejada em um recipiente cilíndrico que é isolado termicamente de uma grande vizinhança a 300K . O diâmetro interno do recipiente é de 500m m e a distância do l