Enunciado

Um longo elemento aquecedor cilíndrico, com diâmetro D = 10 mm, temperatura T1 = 1500 K e emissividade ε1 = 1, é utilizado em um forno. A área da base do forno A2 é uma superfície cinza e difusa, com ε2 = 0,6 e é mantida a T2 = 500 K. As paredes lateral e superior são fabricadas com um tijolo refratário isolante, que é difuso e cinza, com ε = 0,9. O comprimento

do forno na direção normal à página é muito grande quando comparado com a largura w e a altura h.

Desprezando a convecção e tratando as paredes do forno como isotérmicas, determine a potência por unidade de comprimento que deve ser suprida ao elemento aquecedor para manter condições de regime estacionário. Calcule a temperatura da parede do forno.

Passo 1

Vamos lá!! A gente tem um elemento aquecedor dentro de um forno, como descrito no enunciado e queremos saber qual é a potência por unidade de comprimento q 1 ' para que o forno mantenha as condições dadas!!

Nesse caso a gente ta trabalhando com superfície isolada, logo podemos usar a equação:

q 1 = σ ( T 1 4 - T 2 4 ) 1 - ε 1 ε 1 A 1 + 1 A 1 F 12 + 1 A 1 F 1 R + 1 A 2 F 2 R - 1 + 1 - ε 2 ε 2 A 2

Lembrando ε 1 = 1 e que:

q 1 ' = q 1 l

E:

A ' = A l

Ficamos

q ' 1 = σ ( T 1 4 - T 2 4 ) 1 A ' 1 F 12 + 1 A ' 1 F 1 R + 1 A ' 2 F 2 R - 1 + 1 - ε 2 ε 2 A ' 2

Passo 2

Precisamos conhecer F 12 , F 1 R e F 2 R , mas dessa vez as tabelas do livro não podem ajudar a gente!!

Só que olhando pra figura do livro a gente vê que a superfície 2 tem contato com um ângulo de 60 ° do cilindro, enquanto a superfície R teria contato com 300 ° , estrapolando a regra da soma podemos dizer que:

F 12 = 60 ° 360 ° = 0,167

F 1 R por sua vez:

F 1 R = 300 ° 360 ° = 0,83

E podemos aproximar F 2 R ≅ 1 !!

Passo 3

Lembrando que σ = 5,67 × 10 - 8 W / m 2 K 4 :

q ' 1 = 5,67 × 10 - 8 ( 1500 4 - 500 4 ) 1 π × 0,01 × 0,167 + 1 π × 0,01 × 0,83 + 1 1 × 1 - 1 + 1 - 0,6 0,6 × 1

Calculando:

q 1 ' = 8518   W / m 2

Passo 4

Agora só falta calcular a temperatura da parede do forno T R !!

Para isso vamos fazer um balanço da radiação, usando a equação 13.31 do livro:

J 1 - J R 1 A 1 F 1 R - J R - J 2 1 A 2 F 2 R = 0

Sabendo que:

J R = σ T R 4

E é daí que a gente vai achar T R !!!

Substituindo os dados que temos:

J 1 - J R 1 π × 0,01 × 8,3 - J R - J 2 1 1 × 1 = 0

Simplificando:

J R = J 1 + 38,21   J 2 39,21

Passo 5

Para descobrir J 2 podemos usar a equação 13.19 do livro:

q 2 = E b 2 - J 2 1 - ε 2 ε 2 A 2

Se q 1 = q 2 ,   i solando J 2 e substituindo:

J 2 = 5,67 × 10 - 8 × 500 4 - 8518 × 1 - 0,6 0,6 × 1 = 9222   W / m 2

Podemos achar J R , lembrando que a superfície 1 é um corpo negro:

J R = 5,67 × 10 - 8 × 1500 4 + 38,21 × 9222 39,21 = 16,308   W / m 2

E finalmente podemos calcular T R :

T R = 16,308 5,67 × 10 - 8 1 4

Calculando:

T R = 732   K

Resposta

q 1 ' = 8518   W / m

T R = 732   K

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