Enunciado

O isolamento térmico composto mostrado na figura, que foi descrito no Capítulo 1 (Problema 1.86e), está sendo cogitado como material para um teto.

Foi proposto que as placas externa e interna sejam feitas com material aglomerado de baixa densidade, com espessuras L1 = L3 = 12,5 mm, e que o núcleo com estrutura de colmeia seja construído com placas aglomeradas de alta densidade. As células quadradas do núcleo devem ter um comprimento L2 = 50 mm, largura W = 10 mm e espessura de parede t = 2 mm. A emissividade das duas placas aglomeradas é aproximadamente 0,85 e as células da colmeia são preenchidas com ar a uma pressão de 1 atm. Para avaliar a efetividade do isolante, sua resistência térmica total deve ser determinada sob condições operacionais representativas, nas quais a temperatura da superfície inferior (interna) é Ts,i = 25°C e a temperatura da superfície superior (externa) é Ts,e = –10°C. Para avaliar o efeito da convecção natural no espaço contendo ar, considere uma diferença de temperatura na célula de 20°C e avalie as propriedades do ar a 7,5°C. Para avaliar o efeito da radiação através do espaço contendo ar,

admita temperaturas nas superfícies internas das chapas externa e interna de –5 e de 15°C, respectivamente.

Passo 1

Vamos que vamos galerinha !!

Bom, nós temos que achar resistência térmica total, certo?

Para isso vamos ver as resistências atuando aqui, com condução ocorrendo nas placas e condução, convecção e fluxo radiante entre elas!!

Para a resistência total:

R t o t a l = R c o n d , i + R e q + R c o n d , e

Para as resistências em paralelo:

1 R e q = 1 R c o n d + 1 R c o n v + 1 R r a d

Vamos começar olhando cada uma delas:

R c o n d , i = R c o n d , e = L 1 k 1 A 1 = L 1 k 1 W 2

Para a condução que ocorre nas placas aglomeradas:

R c o n d = L 2 k 2 W 2 - W - t 2 = L 2 k 2 2 W t - t 2

As outras nós vamos deixar para depois de propósitoo !!

Vamos ver nossos dados?

L 1   =   L 3   =   12,5   m m

L 2   =   50   m m

W   =   10   m m

t   =   2   m m

T s , i =   25 ° C

T s , e   =   – 10 ° C

T 1 - T 2 = 15 ° C + 5 ° C = 20 ° C

Para a temperatura de 7,5°C, ou seja, 280,5 K, olhamos na Tabela A – 3 para as placas:

B a i x a   d e n s i d a d e :   k 1 = 0,078 W m K  

A l t a   d e n s i d a d e :   k 2 = 0,17 W m K

ε = 0,85

E para o ar, a Tabela A – 4:

k = 0 , 0247 W m K

α = 19,9 × 10 - 6 m 2 s

v = 1 4,5 × 10 - 6 m 2 s

P r = 0,71

β = 1 280,5   K

Substituindo:

R c o n d , i = R c o n d , e = 0,0125 0,078 0,01 2 = 1603 K W

R c o n d = 0,05 0,17 2 0,01 0,002 - 0,002 2 = 8170 K W

Passo 2

A próxima resistência é a convecção que ocorre no espaço entre as placas:

R c o n v = 1 h W - t 2

Para achar o coeficiente convectivo vamos usar a fórmula:

h = k L 2 0,069 R a L 1 3 P r 0,074

Vamos lembrar também que:

R a L = g β T 1 - T 2 L 3 v α

Então:

h = 0,069 k g β T 1 - T 2 v α 1 3 P r 0,074

Substituindo:

h = 0,069 0,0247 9,81 1 280,5 20 19,9 × 10 - 6 14,5 × 10 - 6 1 3 0,71 0,074 = 2,25 W m 2 K

Agora ficou fácil, basta substituirmos:

R c o n v = 1 2,25 0,01 - 0,002 2 = 6944 K W

Passo 3

Para achar a resistência ao fluxo radiante deverá ser calculada usando o calor:

R r a d = T 1 - T 2 q r a d

Lembrando que:

q r a d = W - t 2 σ T 1 4 - T 2 4 2 1 ε - 1 + F 12 + F 1 R + F 2 R F 1 R F 2 R - 1 - 1

É importante nós observarmos aqui que, para o fator de forma, usando o somatório:

F 1 R = F 2 R = 1 - F 1 2

Substituindo:

q r a d = W - t 2 σ T 1 4 - T 2 4 2 1 ε - 1 + F 12 + 1 - F 12 2 2 1 - F 12 - 1

q r a d = W - t 2 σ T 1 4 - T 2 4 2 1 ε - 1 + 2 1 + F 12

Mexendo um pouco na temperatura:

q r a d = W - t 2 σ T 1 2 - T 2 2 ( T 1 + T 2 ) T 1 - T 1 2 1 ε - 1 + 2 1 + F 12

E agora vamos colocar na resistência:

R r a d = 2 1 ε - 1 + 2 1 + F 12 ( T 1 - T 2 ) W - t 2 σ T 1 2 - T 2 2 ( T 1 + T 2 )

R r a d = 2 1 ε - 1 + 2 1 + F 12 W - t 2 σ T 1 2 - T 2 2 ( T 1 + T 2 )

O que nos falta é o fator forma aqui !!

Olhando a figura:

E fazendo a razão:

X L = Y L = W - t L 2 = 0,16

Olhando no gráfico:

F 12 = 0,01

E agora, substituindo:

R r a d = 2 1 0,85 - 1 + 2 1 + 0,01 0,01 - 0,002 2 5,67 × 10 - 8 288 2 - 268 2 ( 288 + 268 ) = 7471 K W

Passo 4

Agora é só achar o total:

1 R e q = 1 8170 K W + 1 6944 K W + 1 7471 K W

R e q = 2498 K W

E no total:

R t o t a l = 1603 K W + 2498 K W + 1603 K W

R t o t a l = 5704 K W

E fechamos mais uma galerinha !!

Resposta

R t o t a l = 5704 K W

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