Enunciado

Um longo fio de Constantan de 1   m m de diâmetro é soldado a topo à superfície de um grande bloco de cobre, formando uma junção de termopar. O fio se comporta como uma aleta, permitindo que o calor flua da superfície, deprimindo assim a temperatura da junção de detecção T j abaixo daquela do bloco To.

(a) Se o fio estiver no ar a 25 ℃ com um coeficiente de convecção de 25   W / m 2 ⋅ K , estime o erro de medição ( T j - T o ) para o termopar quando o bloco estiver a 125 ℃ .

(b) Para coeficientes de convecção de 5 , 10 e 25   W / m 2 ⋅ K , represente graficamente o erro de medição como uma função da condutividade térmica do material do bloco na faixa de 15 a 400   W / m ⋅ K . Em que circunstâncias é vantajoso usar fio de menor diâmetro?

Passo 1

Fala galera!! Bora resolver mais uma questão comigo??

Para resolver essa questão, podemos começar fazendo as seguintes suposições:

(1) Condições de estado estacionário.

(2) O fio do termopar se comporta como uma aleta com coeficiente de transferência de calor constante.

(3) O bloco de cobre tem temperatura uniforme, exceto nas proximidades da junção.

Os dados fornecidos foram:

Diâmetro do fio: D = 1   m m = 0,001   m

Temperatura ambiente: T ∞   = 2 5 ℃

Temperatura do bloco: T o = 125 ℃

Coeficiente de convectivo: h = 25   W / m 2 ⋅ K

Propriedades;

Pela Tabela A-1, a T = 400   K

Condutividade térmica do Cobre: k b = 393   W / m ⋅ K

Pela Tabela A-1, a T = 350   K

Condutividade térmica do Constantan: k t = 25   W / m ⋅ K

Passo 2

A combinação termopar-bloco pode ser representada por um circuito térmico conforme mostrado abaixo.

O fio do termopar se comporta como uma longa aleta, permitindo que o calor flua da superfície, deprimindo assim a temperatura da junção de detecção abaixo daquela do bloco T o . No bloco, o calor flui para a região circular da interface do bloco de arame e a resistência térmica ao fluxo de calor dentro do bloco é aproximada como um disco de diâmetro D em um meio semi-infinito k b ,   T o .

Passo 3

A resistência térmica da aleta segue da expressão da taxa de calor para uma aleta infinita

R a l e t a , i n = h P k t A c - 1 2 = h k t π 2 D 3 4 - 1 2

A partir da Tabela 4.1, temos que o fator de forma para o disco em um meio semi-infinito é dado como S = 2 D e, portanto,

R b l o c o = 1 k b S = 1 2 k b D

Do circuito térmico, podemos dizer o seguinte:

T o - T j = R b l o c o R a l e t a , i n + R b l o c o T o - T ∞

Passo 4

Precisamos encontrar R a l e t a , i n e R b l o c o . Temos que:

R a l e t a , i n = h k t π 2 D 3 4 - 1 2

Substituindo os termos da expressão acima pelos dados fornecidos, temos:

R a l e t a , i n = 25   W / m 2 ⋅ K 25   W / m ⋅ K π 2 0,001   m 3 4 - 1 2 = 805,27   K / W

Para o bloco, temos o seguinte:

R b l o c o = 1 2 k b D

Substituindo os termos da expressão acima pelos dados fornecidos, temos:

R b l o c o = 1 2 393   W / m ⋅ K 0,001   m = 1,272   K / W

Passo 5

Portanto, vamos ter o seguinte:

T o - T j = R b l o c o R a l e t a , i n + R b l o c o T o - T ∞

Substituindo os termos da expressão acima pelos dados fornecidos, temos:

T o - T j = 1,272   K / W 805,27   K / W + 1,272   K / W 1 2 5 ℃ - 2 5 ℃

T o - T j = 0,158 ℃

Passo 6

(b) Introduzimos as equações acima na área de trabalho IHT, realizamos uma varredura em k b para os valores selecionados de he criamos o gráfico mostrado. Quando a condutividade térmica do bloco é baixa, o erro ( T o - T j ) é maior, aumentando com o aumento do coeficiente de convecção. Um fio de diâmetro menor será vantajoso para valores baixos de k b e valores maiores de h .

Resposta

(a)

T o - T j = 0,158 ℃

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