Enunciado

Inicia-se a aplicação de um revestimento plástico em painéis de madeira pela deposição de polímero fundido sobre o painel e o posterior resfriamento da superfície do polímero ao submetê-la a uma corrente de ar a   25 ° C . Como uma primeira aproximação, o calor de reação associado à solidificação do polímero pode ser desprezado e a interface polímero/madeira pode ser considerada adiabática.

Sendo a espessura do revestimento L = 1 m m e ele estando a uma temperatura inicial de T i = 200 ° C , quanto tempo é necessário para a superfície atingie a temperatura segura para o toque de 42 ° C , se o coeficiente de transferência de calor por convecção for h = 250 W / ( m 2 . K ) ? Qual é o valor correspondente da temperatura da interface? A condutividade térmica e a difusividade térmica do plástico são: k = 0,25 W / ( m . K ) e α = 1,20 × 10 - 7 m 2 / s , respectivamente.

Passo 1

Faaalaaa jooveeem!! Bora riscar mais um exercício dessa lista aí?? Vamos juntos!!

Bom, apesar de parecer e de certa forma até ser um bocado longo, não tem segredo nenhum nesse exercício.

Vamos começar como sempre fazemos, encontrando o tio Biot:

B i = h L k = 250 0,001 0,25 = 1

Buscando na tabela 5.1 do livro, encontramos o seguinte:

ζ 1 = 0,8603

E

C 1 = 1,1191

Beleza, vamos tentar encontrar então o Fourier, pois é ele que nos dá o tempo que queremos:

F o = α t L 2

Mas nessa fórmula não é possível para nós isolarmos o t , pois a gente não sabe o valor de F o .

Então, vamos usar essa outra aqui:

θ * = C 1 e - ξ 1 2 F o cos ⁡ ξ 1 x *

Onde:

θ * = T s - T ∞ T i - T ∞ = 42 - 25 200 - 25 = 0,0971

E então para isolar F o , vamos precisar saber x * , e se adotarmos que: x * = x L = 1 , isso só poderá ser possível se, F o > 0,2 .

Vamos fazer assim então e ver se da certo:

0,0971 = 1,1191 × cos ⁡ 0,8603 × e - 0,8603 2 F o

Passando o ln:

ln ⁡ 0,0971 1,12 = - 0,8603 2 F o

Teremos:

F o = 2,725 > 0,2

Dica gloriosa: lembre-se que ζ 1 é dado em radianos na tabela. Lembre-se então, de passar sua calculadora para radianos na hora de calcular.

Passo 2

Tá comigo?? Esse resultado comprova nossa ideia, então estamos tranquilos.

Podemos voltar e achar o tempo:

t = 2,725 0,001 2 1,20 × 10 - 7 = 2 2,71 s e g  

Ufaa.. Acabou?! Ainda não pequeno gafanhoto! Mas estamos quase. Segura aí!

Passo 3

Só precisamos encontrar a temperatura na interface, e achamos assim:

θ * = T 0 - T s T i - T s = C 1 e - ξ 1 2 F o

Mas, você pode estar se perguntando o porquê dessa fórmula estar diferente da que usamos antes. Bom, essa fórmula só serve para quando x * = 0 . E se você ler bem o enunciado, vai perceber que na interface, x = 0 , portanto: x * = x / L = 0 . Simples não?!

T 0 - 25 200 - 25 = 1,1191 × e - 0,8603 2 ( 3,30 )

Isolando, chegamos em:

T 0 = 42,02 ° C

Ufaaa! Agora sim!! Partiu pra próxima?? Te vejo lá!!

Resposta

Portanto:

t = 2 2,71 s e g u n d o s

E

T 0 = 42,02 ° C

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