Enunciado

A média no tempo de um escoamento bidimensional turbulento, incompressível, sobre um bloco quadrado de dimensão h = 1 m é modelado com um aplicativo comercial de dinâmica dos fluido computacional (CFD). Uma vista ampliada das linhas de corrente (contornos de função corrente constante) é mostrada na Figura P9-66. O fluido é ar à temperatura ambiente. Note que os contornos de função corrente compressível constante são mostrados na Figura P9-66, apesar do próprio escoamento ser aproximado como incompressível. Os valores de ψ P estão em unidades de kg/m.s.

(a) Desenhe uma seta no gráfico para indicar a direção e intensidade relativa da velocidade no ponto A. Repita para o ponto B.

(b) Qual é a velocidade aproximada do ar no ponto B? (O ponto B está entre as linhas de corrente 5 e 6 na Figura P9-66).

Passo 1

Fala aí, tudo bem? Vem comigo que eu vou te ajudar a interpretar o enunciado e resolver esse problema.

Nessa questão, a gente tem um bloco quadrado de lado h   =   1   m por onde escoa ar sendo modelado em um programa CFD, e por isso ele tem suas linhas de corrente à mostra.

A questão nos pede, no primeiro momento, pra indicar na figura a direção e intensidade relativa dos vetores de velocidade em dois pontos indicados. Pra isso, a gente deve lembrar a definição da função de corrente incompressível:

ρ u = ∂   ψ p   ∂ y   e   ρ v = - ∂   ψ p   ∂ x

Isso significa que ψ p está intimamente ligado à velocidade do escoamento.

Por fim, a gente vai calcular a velocidade aproximada no ponto A indicado na figura. Pra isso, a gente tem que usar a seguinte equação pra cálculo velocidade em um ponto entre duas linhas de corrente incompressíveis:

V =   1 ρ δ ψ p , 2 - ψ p , 1

Sendo ψ p , 1 e ψ p , 2 os valores das funções de corrente incompressível no entorno do ponto e δ a distância entre as linhas de corrente em torno desse ponto, e ρ = 1,18   k g / m ³ é a densidade do ar a temperatura ambiente ( 20 ° C).

Pronto, agora podemos ir pros próximos passos e resolver essa questão juntos!

Passo 2

Vamos começar resolvendo primeiro a letra (a), representando os vetores velocidade nos pontos indicados.

Primeiro, temos que definir a direção dos vetores de velocidade nos pontos A e B.

Pra isso, vamos usar a regra chamada de “convenção do lado esquerdo”, que diz que a função corrente aumentará do lado esquerdo perpendicular à direção do escoamento.

Além disso, a gente tem que definir a magnitude relativa desses vetores. Como o ponto B está em linhas de corrente de valor maior, ele tem uma magnitude do vetor de velocidade maior do que aquele no ponto A.

Se a gente medir com uma régua a distância entre as linhas de corrente em torno dos pontos, a gente vai perceber que as linhas em torno do ponto A estão distantes quase 0,5   m em nossa escala. As linhas em torno do ponto B, no entanto, estão distantes cerca de 0,1   m

Ou seja, a intensidade do vetor velocidade no ponto B pode ser representada como sendo 5 vezes maior que aquele no ponto A:

Passo 3

Pra finalizar a questão, vamos agora resolver a letra (b).

Temos que calcular velocidade do ponto B, que está entre as linhas de corrente 5 e 6.

Mas antes, precisamos descobrir a distância δ entre as linhas de corrente em torno do ponto. Pra isso, basta a gente usar uma régua e medir a distância entre as linhas de corrente 5 e 6, passando pelo ponto B. Fazendo isso, a gente tem que δ = 0,1   m .

Agora, vamos substituir os valores na equação pra velocidade que eu te mostrei no Passo 1:

V B =   1 ρ δ ψ p , 2 - ψ p , 1 = 1 1,18   k g / m ³ 0,1   m 6   k g / m . s - 5   k g / m . s  

→ V B =   8,47   m s

Pronto, matamos a questão juntos!

Resposta

(a) Os vetores de velocidade nos pontos A e B são demonstrado abaixo:

(b) A velocidade aproximada do ar no ponto B é V B =   8,47   m s .

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