Enunciado

Como mencionado na Seção 4.10, o perfil de velocidade para escoamento laminar entre duas placas, como na Figura P4.41, é

u = 4 u m á x y h - y h 2                                           v = w = 0  

Se a temperatura em ambas as paredes é T p , use a equação da energia para escoamento incompressível (4.75) para resolver a distribuição de temperatura T(y) entre as paredes para o escoamento permanente.

Passo 1

E vamos para mais uma! Simbora!

Considerando T = T ( y ) e usando a equação de energia tendo o nosso perfil de velocidade, vamos ter:

ρ c p d T d t = k d 2 T d y 2 + μ d u d y 2  

ρ c p 0 = k d 2 T d y 2 + μ 4 u m á x h 2 h - 2 y 2

d 2 T d y 2 = - 16 μ u m á x 2 k h 4 ( h 2 - 4 h y + 4 y 2 )

Integrando, teremos:

d T d y = - 16 μ u m á x 2 k h 4 h 2 y - 2 h y 2 + 4 y 3 3 + C 1

Quando y = h 2 , teremos d T d y = 0 , assim, C 1 = - h 3 6 . Substituindo e integrando novamente, teremos:

T = - 16 μ u m á x 2 k h 4 h 2 y 2 2 - 2 h y 3 3 + y 4 3 + C 1 y + C 2

Se, T = T w quando y = 0 e quando y = h , teremos que C 2 = T w , assim, teremos a solução sendo:

T = T w + 8 μ u m á x 2 k y 3 h - y 2 h 2 + 4 y 3 3 h 3 - 2 y 4 3 h 4

Resposta

T = T w + 8 μ u m á x 2 k y 3 h - y 2 h 2 + 4 y 3 3 h 3 - 2 y 4 3 h 4

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