Enunciado

Estude o efeito combinado dos dois escoamentos viscosos na Figura 4.12. Isto é, encontre u ( y ) quando a placa superior se move a uma velocidade V e há também um gradiente de pressão constante ( d p / d x ) . É possível a superposição? Em caso afirmativo, explique por que. Faça um gráfico dos perfis de velocidade representativos para gradientes de pressão (a) zero, (b) positivo e (c) negativo para a mesma velocidade V da parede superior.

Passo 1

Bora pra mais uma!

Substituindo u = u(y) no componente x da equação da quantidade de movimento de Navier-Stokes para escoamento bidimensional (x, y):

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u ∂ y = - ∂ p ∂ x - ρ g x + μ ( ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 )

Daí:

ρ 0 + 0 = - ∂ p ∂ x + 0 + μ ∂ 2 u ∂ y 2

μ ∂ 2 u ∂ y 2 - ∂ p ∂ x = 0

Desses dois termos, conforme apresentado na seção 4.10 do livro o termo μ ∂ 2 u ∂ y 2 nos dá como solução o escoamento entre placas com uma parede superior em movimento e o termo - ∂ p ∂ x o escoamento em um canal em virtude de um gradiente de pressão, daí:

u y = V 2 1 + y h + h 2 2 μ - d p d x 1 - y 2 h 2

Resposta

u y = V 2 1 + y h + h 2 2 μ - d p d x 1 - y 2 h 2

A superposição é bastante valida porque a aceleração convectiva é zero, portanto o que resta é a linear: ∇ p = μ ∇ 2 V .   Os perfis de velocidade representativos para os gradientes de pressão são representados abaixo:

Exercícios de Livros Relacionados

Um líquido incompressível com viscosidade desprezível e massa específica ρ = 1250 kg/m3 escoa em regime permanente através de um tubo de 5 m de comprimento com seção convergentediv...
O campo de velocidade para um sorvedouro plano do tipo vórtice é dado por V → = ( - q / 2 π r ) ê r   +   ( K / 2 π r ) ê θ ê ê , em que q = 2 m³/s/m e K = 1 m³/s/m. A massa especí...
Para modelar a distribuição de velocidade na seção curva de entrada de um túnel de vento, o raio de curvatura das linhas de corrente é expresso como R = LR0/2y. Em primeira aproxim...
Um bocal para um fluido incompressível e invíscido, com massa específica ρ = 1000 kg/m3, consiste em uma seção de tubo convergente. Na entrada, o diâmetro é De = 100 mm e, na saída...
Repita o Exemplo 6.1, porém com uma consideração um pouco mais realista de que o escoamento é similar a um perfil de vórtice livre (irrotacional), Vθ = c/r (em que c é uma constant...
Uma chapa fina deve passar de forma contínua num banho de tinta contido num reservatório, como mostra a figura. Em regime permanente, o diagrama de velocidades bidimensional v z = ...
Um fluido incompressível escoa no anel formado entre dois tubos concêntricos de seção circular. O escoamento é laminar e o raio externo do tubo menor é R 1 , enquanto o raio intern...
5.75 Considre o campo de escoamento bidimensional no qual u = A x y e ψ = B y 2 , em que A = 1   m - 1 s - 1 , B = 1 / 2   m - 1 s - 1 e as coordenadas são medidas em metros. Mostr...
5.74 Considere o campo de escoamento bidimensional no qual u = A x 2 e v = B x y , em que A = 1,6   m - 1 s - 1 , B = 3,3   m - 1 s - 1 e as coordenadas são medidas em ft. Mostre q...
Substitua as componentes do vetor velocidade dadas no problema 10-44 em uma equação de Laplace em coordenadas cilíndricas. Mostrando todos os seus conhecimentos de álgebra, verifiq...
Considere o campo de escoamento produzido por um secador de cabelo. Identifique regiões desse campo de escoamento que podem ser aproximadas como irrotacional e aquelas para as quai...
Em uma certa região de escoamento permanente, bidimensional, incompressível, o campo de velocidade é dado por V → = u , v = a x + b i → + - a y + c x j → . Mostre que essa região d...